裝配式襯砌接頭的接觸力學模型研究
賈永剛1 王明年2
(1北京城建設計研究總院有限責任公司 北京 100037)
（2西南交通大學地下工程系 四川成都 610031）

摘要：裝配式襯砌是由襯砌管片通過螺栓連接而成的。在相鄰管片連接處存在一個力學特性比較復雜的區域。這個區域存在面面接觸以及螺栓的連接。在這里將其抽象為面面接觸單元以及螺栓預緊單元進行數值模擬。并通過算例進行了一些分析，得出了一些結論。
關鍵詞：裝配式襯砌；接觸單元；螺栓

The contact mechanics model of the fabricated lining tie-in
Jia Yonggang1 Wang Mingnian2
(1Beijing Urban Engineering Design and Research Institute Co.Ltd Beijing 100037)
（2Dept of Underground Engineering, Southwest Jiaotong University Chengdu Sichuan 610031）
Abstract: The fabricated linings are joined by bolts. There is an area in which the mechanics characteristic is complicated. There are face to face contact and joined bolts. In this paper, we abstract it to face to face contact element and prepressed bolt element to simulate. Through analyzing an example, we come to some conclusions.
Keywords: the fabricated linings； contact element； bolt
1．概述
裝配式襯砌是由襯砌管片通過螺栓連接而成的。在相鄰管片連接處存在一個力學特性比較復雜的區域。這個區域存在面面接觸以及螺栓的連接。在這里將其抽象為面面接觸單元以及螺栓預緊單元進行數值模擬。在進行抽象之前首先有以下假設：
1.物體的材料特性是線性的，位移和應變都很小。
2.作用在接觸面上的摩擦滿足庫侖定律。
3.接觸面是連續的平滑的。
基于上述假定，檢查預制管片，可以看出。鋼筋混凝土在小變位情況下為線彈性材料滿足第一條假設。第二條用來對接觸摩擦進行滑動判斷的。由于預制管片是連續體因此接觸面是連續的和平滑的也可以滿足。除此之外，假設中沒有對接觸面的形狀進行描述等等。
2．接觸力學模型的建立
接觸問題中，最重要的區域是接觸部分。對于由管片A和B組成的接觸問題，為了分析的方便，將他們分離成兩個獨立的物體，如圖1所示。我們可以寫出它們各自的有限元基本方程。即：

在式（1）中， ， 都是未知量，顯然，方程（1）不能直接求解。如果我們能夠預先確定出 ，方程（1）就變成了典型的有限元位移法的方程，問題
就很容易解決了。這里采取的方法是通過接觸點對之間的位移相容關系求得接觸力。
3．接觸點的柔度方程
在圖1的問題中，管片A和B接觸面上的接觸點分別是 ， ，如圖2所示。
只要式（1）中的 是非奇異矩陣，不難求出接觸點的柔度方程為

4．坐標變換
為了進一步建立接觸面上的接觸點的相容方程，柔度方程必須用接觸面上的局部坐標表示。接觸面上任意一個接觸點 有以下關系：

（2）滑動邊界
在接觸面局部坐標系的三個方向，仍滿足式（6），而且在接觸面的切平面 方向上接觸力的合力，已達到摩擦極限值，按照庫侖摩擦定理有一下關系
（7）
（3）自有邊界
對于自由邊界也就是沒有接觸的自由邊界，很容易知道
（8）
一般接觸點的相容方程建立時，首先是先按照連續邊界即式（6）形成全部接觸點的相容方程，然后在每次迭代求解時，只需要根據每個接觸狀態來作修改，若是連續狀態則不作修改，若是滑動狀態就用式（7）來替換這個接觸點的 兩個方向對應的方程，若是自由狀態，就用式（8）替換所對應的方程。這樣就得到了某種狀態下的相容方程。
6．算例
本次計算是一個鐵路隧道裝配式襯砌的標準塊襯砌管片接頭，具體尺寸具體如圖3所示，材料常數如表1所示。

本次工況施加預緊力60kN,此時管片接縫處處于相對受壓狀態，相當于給接頭部位施加了一個預應力，使得管片接頭部位有一個相對的壓應變。當作用小彎矩時，由于此時的管片應力與混凝土的屈服應力相比小很多。因此，管片處于線性受力狀態。也就是說接頭由于彎矩作用產生的拉應變比預緊力要小。因此管片接頭處的應力狀態為受壓。通過比較其壓應變與混凝土的屈服應變相差很大，因此可以說此時的管片接頭是線性工作狀態，應力也是線性狀態。
計算結果分析
1．位移計算結果
不同彎矩值下的接縫位移和剛度見表2和表3所示。具體的應力大小和分布形式見圖6～圖15。

表3 正彎矩工況管片接縫位移表

負彎矩工況管片沿厚度方向的應力情況：

從計算結果可以看出，正負彎矩情況下接縫面的法向接觸壓力見表4。
表4 正負彎矩工況接縫面法方向應力極值表
(Table 4 Table of linings joint max mormal stress in positive and negative bend condition)

從計算結果可以看出，同一種工況（正彎矩或負彎矩工況）不同荷載情況下接縫剛度的大小變化不大。當管片受負彎矩時，管片的下部受壓此時螺栓部位基本處于受拉狀態，從而抑制了接縫處相對位移的開展。而當受正彎矩時，管片的下部受拉，此時螺栓部位基本處于受壓狀態，因此此時螺栓對接縫相對位移的開展是沒有貢獻的，因此此時接縫處的抗彎剛度比負彎矩時低。總之一點，接縫剛度的差異主要原因是由于螺栓的位置的上下不對稱性引起的。其接縫剛度在正彎矩工況下為4.65×107 kN·m/rad，負彎矩工況下為
6.19×107 kN·m/rad。
接縫面的法向接觸應力呈拋物線型分布，不同工況下的具體形狀見圖6至圖15所示。從表4可以看出，正負彎矩情況下，接縫處的法向接觸應力變化最大值變化不大，最小值變化較大。
7．結論
1．裝配式襯砌接頭－接觸力學模型可以較合理的反映管片在施工完畢后正常運營階段的實際受力情況。在地震力和沖擊波作用下的非線性情況有待于進一步研究。
2．接觸力學模型可以很好的模擬接縫處的法向應力的分布形態，基本上呈多次拋物線形式分布。
3．從計算結果可以看出，同一種工況（正彎矩或負彎矩工況）不同荷載情況下接縫剛度的大小變化不大。當管片受負彎矩時，管片的下部受壓此時螺栓部位基本處于受拉狀態，從而抑制了接縫處相對位移的開展。而當受正彎矩時，管片的下部受拉，此時螺栓部位基本處于受壓狀態，因此此時螺栓對接縫相對位移的開展是沒有貢獻的，因此此時接縫處的抗彎剛度比負彎矩時低。

參考文獻
［1］徐秉業等譯，接觸力學，高等教育出版社，1992.
［2］張汝清，非線性有限元分析，重慶大學出版社，1993.
［3］孔祥安等，接觸力學，中國鐵道出版社，1999.
［4］賈永剛，鐵路隧道裝配式襯砌力學特性研究，碩士學位論文，2003.