先張法預應力混凝土簡支梁反拱計算

陳大慶 張洪俊

【淮陰市TRANBBS交通TRANBBS規劃TRANBBS設計院 淮陰 223001】

摘 要：對先張法預應力混凝土梁反拱計算進行了較細致的討論，推導了計算反拱的較為精確的計算公式，并在此基礎上推導了方便實際工程運用的簡便公式。
關鍵詞：先張 預應力 徐變 撓度

近年來，先張法預應力混凝土(空心)板梁在橋梁建設中，特別是一些高等級公路中得到了廣泛的應用。例如，已開通的寧連一級公路淮陰段二期工程中，有80％以上單跨大于16m跨徑的中小橋采用先張法預應力混凝土空心板梁。這種梁的主要優點是跨越能力較大，TRANBBS施工方便，可大批量工廠化集中預制，因此具有廣泛的推廣價值。?
但是，先張法預應力混凝土梁在預應力筋及混凝土收縮徐變等因素的影響下，不可避免地要產生向上的撓度即反拱。由于采用先張法的施工工藝，這種反拱很難采用預設反向撓度的方法加以解決。過大的反拱值將影響梁的使用剛度，導致調整行車困難，加大車輛的沖擊作用，引起橋梁的劇烈振動。同時由于反拱的存在，可能使橋面鋪裝層厚度不均，若設計時忽略反拱的因素，則可能導致橋面鋪裝層厚度不夠。因此，對反拱的計算就顯得十分重要，用計算的反拱值來控制設計和施工顯然具有很大的意義。?
介紹先張法預應力混凝土梁反拱計算的文獻已有，但是往往考慮的因素不夠，所用計算公式精度較差，其結果較難精確地反映實際情況。本文對此作了較細致的討論，推導了計算先張法預應力混凝土梁反拱值的較精確的計算公式，同時為了方便實際工程的需要，在此基礎上又推導了具有一定精度的簡化計算公式。

1 計算內容

本文針對先張法預應力混凝土梁，計算其反拱組成有：
(1)結構恒載自重作用下的找度；
(2)釋放預應力筋時即梁在預應力筋初始張拉力作用下產生的短期撓度；
(3)釋放力筋至時刻t時由于力筋松馳、收縮和徐變等因素引起的預應力損失所導致的撓度改變；?
(4)在持續預應力作用下由于混凝土徐變所產生的撓度改變。

2 基本假定

在撓度計算過程中，我們作了如下假定：
(1)預應力看作是作用在梁上并隨時間而變化的外荷載。忽略梁內鋼筋對混凝土梁材料的不均勻影響因素，將梁視為勻質材料構成：
(2)梁從力筋放松到使用不開裂，計算梁抗彎剛度時，采用全珙面的換算慣性矩I0；
(3)混凝土彈模Eh是隨著時間增加而變化(增加)的，因此，梁的抗彎剛度是不斷變化的?？紤]到梁在初期彈模較小，同時，由于梁反拱的擴展，將降低梁的抗彎剛度，故為方便計，在整個撓度計算過程中采用不變的抗彎剛度即0.85EhI0
(4)在計算預應力筋由于混凝土徐變而產生的撓度變化時，徐變作用看作是在恒定的預應力作用下發生的，該力等于初始張拉力與計算反拱終值時張拉力的平均值；?
(5)計算預應力筋彎矩Mp引起的撓度f時，梁在任意時刻Mp-f曲線為線性關系。

3 基本公式推導

梁跨中在放松力筋(混凝土齡期τ)到任意時刻t(混凝土齡期t)時撓度ft可表示為：

ft=fg+△fg-fyp+△fy1-△fy2 (1)

式中：ft--梁在自重作用下產生的撓度(向下)；
fg--迄至時刻t時在梁自重作用下由于混凝土徐變產生的撓度改變(向下)；
△fg--梁在初始張拉力yp作用下產生的短期撓度(向上)；?
△fy1--迄至時刻t由于松馳、收縮和徐變引起的預應力損失所產生的撓度改變(向下)；?
△fy2--迄至時刻t在持續壓力下由于混凝土徐變產生的撓度改變(向上)。
若時刻t預應力筋應力損失發生后的有效拉力為Pye，則根據假定e有：

△fy1=fyp-fye

式中fye為Pye產生的撓度，代入式(1)有：

ft=fg+△fg-fye-△fy2 (2)

式(2)即為計算撓度的基本公式。

4 撓度計算

4.1梁在自重作用下的撓度fg計算?
梁在自重作用下產生撓度fg及時刻t在梁自重作用下由于混凝土徐變產生撓度△fg計算，對于跨長簡支梁，其自重作用下的跨中撓度為：

fg=5gl4/384EI

式中：
g--自重集度；?
l--跨長；
EI--計算抗彎剛度，取EI=0.85EhI0，Eh為混凝土彈模，I0為換算截面慣性距。
時刻t在梁自重作用下由于混凝土徐變產生的撓度為：

△fg=fg·?(t，τ)

式中：?(t，τ)--加載齡期等于τ至齡期t時的徐變系數。
故有：fg+△fg=fg·［1+?(t，τ)］

4.2 梁在預應力筋彎矩作用下的撓度fy計算

為了避免先張法梁產生過大反拱，梁內有的預應力筋在梁端部附近套有塑料套管，故梁內的力筋有效工作長度不一。根據《公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規范》(JTJ023-85)(以下簡稱《公橋規》)第5.2.20條，預應力筋即在力筋有效長度端部為零，在傳遞長度末端預應力值達到σy(見圖1)。

由圖2，根據虛功原理，梁在預應力Py作用下引起的跨中撓度為：

式中：ey--力筋重心至換算截面重心的距離，EI=0.85EhI0。

4.3 時刻t考慮松馳、收縮和徐變引起的預應力損失后的有效拉力Pye的計算

預應力損失內容中，力筋與臺座間的溫差引起的應力損失僅當構件采用蒸汽或其它方法加熱養護砼時才予以計算，一般可不考慮。這里考慮如下三項應力損失。?
4.3.1 力筋松馳引起的應力損失σ1?
現在先張法預應力砼梁多采用低松馳的鋼絞線作為預慶力筋，松馳率約為3.5％，本文取σ1=0.035σk，σk為張拉力筋時控制應力。
先張法構件在預加慶力階段中，考慮其持荷時間較短，一般按松馳損失終值的一半計算，其余一半則認為在隨后的使用階段中完成。?
4.3.2 砼彈性壓縮引起的應力損失σ2計算
放松力筋時，砼產生的全部彈性壓縮量引起力筋的預應力損失為(按一次放松力筋考慮)：

σ2=εyEy=εh·Ey=σh·Ey/Eh=ny·δh

式中：
ny--力筋與混凝土彈模之比；
σh--計算截面(跨中)的力筋重心處，由預加力產生的混凝土應力，按下式計算：

式中：
Ny0--混凝土應力為零時的預應力筋的預加力，取Ny0=Ay(σk-1/2σ1)；
?A0--構件換算截面積；
Ay--力筋截面積；?
4.3.3混凝土收縮、徐變引起的應力損失σ3計算
由砼收縮徐變引起的應力損失，應考慮非預應力筋的影響，詳細可參閱《公橋規》附錄九。?
確定預應力筋上述三項預應力損失后，可求得時刻t考慮預應力損失后的有效拉力為：

Pye=Ay(σk-1/2σ1-σ2-σ3)

4.4 時刻t在持續壓力下由于混凝土徐變產生的撓度△fy2計算

根據假定d有：

將上述各項計算結果代入式(2)即可得到t時刻梁跨中撓度計算式為：

（4）

公式中fyp、fye根據式(3)計算。
需要指明的是，由于梁內力筋長度不同，故應先將不同長

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度的力筋進行編號，逐號計算，最后疊加得到總撓度值。
4.5 混凝土徐變系數φ(t，τ)的取值
混凝土徐變系數φ(t，τ)可參閱《公橋規》附錄四計算，但其計算公式稍復雜，且要查閱許多圖表為了適應編程的需要，這里推薦采用應用于老化理論的狄辛格方法求解。?
狄辛格計算混凝土徐變系數的函數式為：

（5）

式中：
?φkt--加載齡期τ時的混凝土徐變終極值。對于先張法預應力混凝土空心板梁可取φkt=3.0。
β--徐變增長速度系數，一般可取
0.006，精確計算按表1選取。

徐變增長速度系數β值表 表1

?持荷時間(d) 7 14 28 56 90 120 180 1年 2年 
β 0.015 0.012 0.020 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 

注：持荷時間指自建立預應力開始至計時時止的時間間隔。

5 簡化公式推導

基本計算公式仍為公式2，式中經一、二項計算同前。?
5.1 計算公式2第三項fye
力筋按平均工作長度計算，My圖在lc段簡化為直線，力筋有效工作長度取ly+lc，則

（6）

對于先張法預應力砼空心梁，本文將力筋有效應力σy看成是σk乘以一折減系數k而得，即σy=kσk，k取0.65～0.8(存梁時間越長，取值越小)，則上式中Pye=kAyσk。

5.2 計算公式2第四項△fy2
根據假定e有：

將上述計算代入式2得簡化計算公式：（7）

式中fye根據式6計算。

6 計算實例

某20m先張法預應力混凝土空心板梁，設計荷載：汽-超20級，掛-120級。板梁預制長l=19.96m，40＃混凝土，Eh=3.3×104MPa，截面A0=0.425m2，I0=0.0342m4。鋼絞線規格j15.24(270級)，Ey=1.95×105MPa，σk=1339.2MPa，ey=0.38m，力筋放松時刻混凝土齡期τ=10d，各力筋根數及有效工作長度ly見表2。求板梁存放期，混凝土齡為t=90d時的反拱值。

預應力筋工作參數及fy計算表 表2

編號 根數 ly(m) lc(m) Ay(mm2) Py(kN) Pye(kN) fye(cm) fyp(cm) 　 
1 4 19.96 0.00 1.0 601.2 750 577.0 -1.18 -1.47 
2 2 16.80 1.58 1.0 300.6 375 288.5 -0.56 -0.70 
3 2 15.20 2.20 1.0 300.6 375 288.5 -0.55 -0.69 
4 2 13.20 3.38 1.0 300.6 .75 288.5 -0.50 -0.62 
5 2 11.00 4.48 1.0 300.6 275 288.5 -0.45 -0.56 
6 2 7.80 6.08 1.0 300.6 375 288.5 -0.33 -0.42 
合計 14 　 　 　 　 　 　 -3.57 -4.46 

解一：用精確公式4計算
(1)計算恒載自重產生撓度fg?
恒載集度g=10.62kN/m，
(2)徐變系數φ(t，τ)的計算?
根據公式5，將φkt=3.0，β=0.007，t=90，τ=10代入得φ(t，τ)=1.31
(3)計算預應力損失及有效張拉力
損失一：σ1=0.035σk=46.87MPa
跨中：Ny0=Ay(σk-1/2σ1)=2579kN
故損失二：σ2=ny·σh=5.9×16.96=100.1MPa
根據《公橋規》附錄九計算損失三：

σ3=［ny·σh·φ(t，τ)+Ey·ε(t，τ)］/(1+10μ·ρA)?

式中各符號意義見規范。這里，ny=5.9，σh=16.96MPa，μ=0.46％，ρA=1+e0?2(I?0/A?0)=2.794，φ(t，τ)=1.31，ε(t，τ)=0.00015。?
各參數代入計算得σ?3=142.1MPa?
每根力筋的跨中有效應力視為相同，則其有效張拉力為?

Pye=Ay(σk-1/2σ1-σ2-σ3)=150.3kN

(4)計算梁跨中初始張拉力Pyp及時刻有效t時刻有效拉力Pye張拉力產生的撓度由公式3計算，結果見表2。?
(5)計算時刻t在梁自重及預應力作用下由于混凝土徐變產生的撓度△fg及△fy2
(6)計算時刻t梁跨中最終反拱值?
ft=fg+△fg-fye-fy2=2.3+3.01-3.57-5.26=-3.52cm(↑)?

解二：用簡化公式7計算?
(1)fg·［1+φ(t，τ)］=2.3×(1+1.3)=5.31cm(↓)?
(2)Pye=kAyσ?k=0.7×14×140×1339.2×10-3＝1837.3kN?
力筋平均有效工作長度ly=?nly/14+lc=15.85m
(3)最終撓度

7 結束語

本文介紹的稱張法預應力混凝土梁反拱計算公式，計算結果準確可靠，公式中沒有需查表計算的參數，故可方便地編程計算。提供的簡化公式僅供參考，正式設計應以精確公式計算。由于混凝土徐變系數對反拱影響較大，故為了提高計算精度，對混凝土徐變系數建議仍采用《公橋規》中的公式計算。但一般情況下，文中提供的計算公式精度已足以滿足實際工程需要。

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