[摘要]基于有限變形理論，考慮結(jié)構(gòu)幾何非線性，建立了考慮體系轉(zhuǎn)換及初始力影響的鋼管拱橋空間穩(wěn)定分析方法及設(shè)計程序；對一座墩拱固結(jié)連續(xù)鋼管拱系桿拱橋進(jìn)行了施工過程及成橋階段仿真計算，提出了各施工階段的空間穩(wěn)定安全系數(shù)，探討了成橋階段吊桿、橋面系剛度、拱上橫撐、施工誤差等因素對穩(wěn)定性的影響。
關(guān)鍵詞 系桿拱 穩(wěn)定 非線性

一、引言
深圳市芙蓉大橋是一座三跨連續(xù)鋼管拱系桿拱橋，跨徑為 L＝ 55m＋ 80m＋ 55m，橋梁寬度為23.5米，已于2000年3月建成通車。該橋采用鋼管混凝土拱肋與橋墩固結(jié)，橋面結(jié)構(gòu)采用縱向漂浮體系，由兩根T形縱梁及箱形橫梁組成，系桿為鋼絞線束，拱肋為啞鈴形，鋼管直徑為70cm，拱肋間邊孔設(shè)兩根根撐，中孔設(shè)三根橫撐，橋面對拱肋的約束作用相對較弱。在設(shè)計及施工過程中，如何考慮橋面及吊桿對拱肋的作用，施工過程中結(jié)構(gòu)的體系轉(zhuǎn)換對拱肋空間穩(wěn)定性的影響等是工程師們關(guān)注的重要問題。該橋用文獻(xiàn)【1】提供的近似方法進(jìn)行計算，得出的拱肋穩(wěn)定臨界荷載偏小【1】，而國外一般的幾何非線性分析軟件僅能將各施工階段作為獨(dú)立的結(jié)構(gòu)采用特征值法進(jìn)行計算，不能考慮各階段之間內(nèi)力的傳遞與初始力影響。為此，本文基于有限變形理論，考慮結(jié)構(gòu)幾何非線性，建立了一套能夠模擬施工及成橋階段受力的鋼管拱系桿拱橋彈性內(nèi)力及空間穩(wěn)定性分析方法和仿真程序，采用初始內(nèi)力法考慮階段問體系轉(zhuǎn)換及彈性內(nèi)力的傳遞，逐步加載進(jìn)行各施工階段空間穩(wěn)定性分析。模擬實(shí)際橋梁施工階段，計算分析了該橋各階段的穩(wěn)定安全系數(shù)先穩(wěn)特性；探討了成橋體系拱肋的穩(wěn)定安全系數(shù)及其影響因素，為該橋的設(shè)計及施工提供了依據(jù)。

二、施工階段劃分與計算模型
采用空間梁系模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)，縱梁、橫梁組成梁格體系，拱肋根據(jù)鋼管混凝土換算截面離散成拱單元，豎向構(gòu)件由吊桿、墩柱組成。基礎(chǔ)和土的共同作用按樁基等代法模擬，其力學(xué)模型如圖1所示。整個施工過程模擬按9個階段進(jìn)行：

階段1：邊孔單側(cè)拱肋封拱腳，不計橫向風(fēng)撐作用階段。
階段2：邊孔雙側(cè)拱肋有橫撐，中孔單側(cè)拱肋封拱腳無橫撐階段。
階段3：雙側(cè)鋼管及橫撐安裝就位，一側(cè)拱肋灌滿混凝土，另一側(cè)為空鋼管，但混凝土不參加受力。
階段4：混凝土鋼管共同作用，吊裝橫梁。
階段5：混凝土鋼管共同作用，吊裝縱梁。
階段6：縱、根參加作用，吊裝槽形板。
階段7：灌注濕接頭及 7cm厚板面混凝土。
階段8：縱、橫參加作用，鋪裝橋面。
階段9：橋面系參加作用，成橋運(yùn)營。
各階段均考慮了拱肋的初始偏心，拱頂偏心值為 L／5000＋ 5mm，從拱頂至拱腳按半正弦曲線變化。

三、結(jié)構(gòu)計算基本原理與程序?qū)崿F(xiàn)
1．考慮初始力的U．L增量形式平衡方程
基本假定：結(jié)構(gòu)在變形前、后的截面積和體積相同，大變形小應(yīng)變，變形前垂直于中性軸的截面變形后仍為平截面[3]。
將時刻t視為外荷載°Pi作用下有初應(yīng)力°σij的結(jié)構(gòu)，其中°σij為當(dāng)前階段由于體系轉(zhuǎn)換、預(yù)應(yīng)力效應(yīng)、吊桿張拉等在結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力狀態(tài)。
由t至t＋Δt時刻，外荷載增量Pi，應(yīng)力增量σij，應(yīng)變增量εij，位移增量u；如圖2。

則t至t十Δt時刻過程中結(jié)構(gòu)的總勢能增量為

將應(yīng)力增量。對應(yīng)變增量εij劃分為線性與非線性兩部分，即

將式（2）至式（4）代人式（1），略去 等高階項得：

由勢能駐值原理δπ＝0則U．L法描述的平衡方程為

式中

式（6）即為考慮初始力影響的三維連續(xù)體U．L列式的增量平衡方程。結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元離散，由左邊第一項即可得到彈性或彈塑性剛度矩陣，由第二項可得出幾何剛度矩陣，又稱初應(yīng)力矩陣，右邊第一項為t＋Δt時刻外何載等效節(jié)點(diǎn)力向量，第二項為t時刻初應(yīng)力引起的等效節(jié)點(diǎn)力向量。
2．空間梁元U．L增量平衡方程
由式（6）可得空間梁元U．L增量平衡方程：

其中

當(dāng)梁處于彈性時，tKL即為單元彈性剛度矩陣：

此為單元幾何剛度矩陣，該剛陣有別于一般幾何非線性的剛陣，它考慮了初始力的影響力

為t＋Δt時等效節(jié)點(diǎn)力向量；

為初始力引起的不平衡修正力。
上述各式即為考慮幾何非線性的有限元方程，將單元局部坐標(biāo)系下的各量進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即可得到整體坐標(biāo)下結(jié)構(gòu)的有限元幾何非線性基本方程。
3．計算方法及程序?qū)崿F(xiàn)
式（6）以增量形成表示的計及初始不平衡效應(yīng)的有限元公式可以表示為：

式中

從結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的載荷位移關(guān)系曲線可以發(fā)現(xiàn)，隨著載荷的增加，結(jié)構(gòu)的當(dāng)前剛度參數(shù)也隨之而變化，所謂當(dāng)前剛度參數(shù)，是指與當(dāng)前剛度矩陣有關(guān)的能量和與起始剛度矩陣有關(guān)的能量之比，當(dāng)前剛度參數(shù)可以定義為

這樣即形成了一種自動加載系統(tǒng)。
由式（8）可知，如果[KT]非奇異，則給定載荷增量參數(shù)Δλ，即可采用某種選代解法（本程序用修正的Newton～Raphson法）而求得增量位移{ΔQ}。然而在極值點(diǎn)附近，如繼續(xù)上述方法，將無法得到收斂的結(jié)果。為此在極值點(diǎn)附近一個選定的區(qū)域里終止選代，即認(rèn)為結(jié)構(gòu)已發(fā)生了極值點(diǎn)失穩(wěn)。該區(qū)域的確定，可通過條件Sp≤εl來實(shí)現(xiàn)，式中，εl是根據(jù)問題的需要而選定的正實(shí)數(shù)，一般取εl≤0.1即可。
在計算中，可采用下述兩個原則來判定結(jié)構(gòu)是否失穩(wěn)：
（1）[KT]奇異，但此時Sp＞εl，此種情況多由幾何非線性所致，屬分叉型失穩(wěn)。
(2)Sp≤εl，結(jié)構(gòu)軟化，此種情況多由物理非線性和幾何非線性共同作用所致，屬極值點(diǎn)型失穩(wěn)。

四、失穩(wěn)特征判別及計算結(jié)果分析
1．失穩(wěn)特征
結(jié)構(gòu)失穩(wěn)為空間失穩(wěn)，其面內(nèi)、面外均有位移。為了判別拱肋的失穩(wěn)模態(tài)，將根據(jù)拱肋變形及拱頂荷載一位移曲線的關(guān)系區(qū)分拱肋是面內(nèi)失穩(wěn)和面外失穩(wěn)。若拱頂?shù)拿鎯?nèi)變形與荷載呈非線性，面外為線性，則判定為面內(nèi)失穩(wěn)，反之為面外失穩(wěn)。圖3為階段1在自重及水平風(fēng)力作用下的失穩(wěn)模態(tài)及拱頂荷載位移曲線，圖4為階段9成橋狀態(tài)在使用荷載作用下的失穩(wěn)模態(tài)及拱頂荷載位移曲線，由此可以得出在這兩個施工階段均為面外失穩(wěn)，階段9計算結(jié)果還表明，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)為邊孔及中孔拱肋均達(dá)到失穩(wěn)狀態(tài)。表1給出了各階段的失穩(wěn)特征。

2．各階段安全系數(shù)
拱肋穩(wěn)定安全系數(shù)可以有兩種表達(dá)方式：
其一為 n=(p0+λp)/(p0+p1) （12）
其中，p0為初始荷載，p為加載模式的基本值，λ為加載因子，p1為可變荷載。
這種表達(dá)方式概念明確，適合一般荷載較為明確的結(jié)構(gòu)分析。但由于橋梁結(jié)構(gòu)初始力構(gòu)成比較復(fù)雜，進(jìn)行結(jié)構(gòu)非線性加載時，僅有部分初始力作為增量荷載，很難用顯式P0表達(dá)所有的初始力，因此，拱肋穩(wěn)定安全系數(shù)采用第二種表達(dá)方式：
n＝Ncr／N （13）
其中，Ncr為拱肋失穩(wěn)軸力，N為該階段對應(yīng)的使用荷載作用下的軸力。這種表達(dá)方法僅考慮了拱肋失穩(wěn)時拱肋臨界軸力與使用荷載之比，能夠明確表示出初始力的影響，但忽略了其他因素的相互作用，本文采用第二種方法定義拱肋的穩(wěn)定安全系數(shù)。各階段穩(wěn)定安全系數(shù)如表1。

由表1可知，階段4，5橋面及吊桿對拱肋的約束作用尚未形成，只有鋼管混凝土拱肋支承，穩(wěn)定安全系數(shù)較其他施工階段小；成橋階段考慮橋面板與縱、橫梁形成橋面系共同參加作用，穩(wěn)定安全系數(shù)為6.9。對于啞鈴形截面，拱肋面外剛度偏小，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)均表現(xiàn)為面外失穩(wěn)。

五、結(jié)構(gòu)體系選擇與穩(wěn)定性的討論
連續(xù)鋼管拱橋采用拱肋與墩柱固結(jié)，各橫梁之間僅有兩根較弱的T形縱梁聯(lián)系且縱梁懸吊在拱腳處，整個橋面系的棧橋向約束較小。在此情況下，當(dāng)供肋側(cè)傾失穩(wěn)時，吊桿的非保向力效應(yīng)及拱肋間的橫撐設(shè)置是設(shè)計及施工階段必須明確的問題。為此，本文基于前述
方法，對成橋階段的結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行了討論，初步討論了以下六種結(jié)構(gòu)體系情況：
1．橋面系整體參加工作，不計吊桿的"非保向力效應(yīng)"，拱肋間設(shè)橫撐；
2．橋面系整體參加工作，不計吊桿的"非保向力效應(yīng)"，拱肋間不設(shè)橫撐；
3．橋面僅考慮兩根縱梁參加工作，計入吊桿的"非保向力效應(yīng)"，拱肋間設(shè)橫撐；
4．橋面僅考慮兩根縱梁參加工作，計入吊桿的"非保向力效應(yīng)"，拱肋間不設(shè)橫撐；
5．橋面系整體參加工作，計入吊桿的"非保向力效應(yīng)"，拱肋間設(shè)橫撐；
6．橋面系整體參加工作，計入吊桿的"非保向力效應(yīng)"，拱肋間不設(shè)橫撐。

表2給出了上述各體系的穩(wěn)定安全系數(shù)計算結(jié)果，根據(jù)橋面結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況，對縱梁進(jìn)行有效的橫向約束，成橋工作狀態(tài)介于體系3與體系5之間，穩(wěn)定安全系數(shù)為3.96～6.90，基本滿足規(guī)范要求；若取消拱肋間的橫撐，則成橋工作狀態(tài)介于體系4與體系6之間，穩(wěn)定安全系數(shù)2.68～5.31，不能滿足規(guī)范要剎到，該橋拱肋間必須設(shè)置橫撐；若不計吊桿"非保向力效應(yīng)"，拱肋的穩(wěn)定安全系數(shù)僅有計吊桿"非保向力效應(yīng)"的 28％～ 35％。由此可知吊桿作用、縱梁及橋面系剛度、拱肋間橫撐對系桿拱橋穩(wěn)定性及體系選擇影響很大。

六、結(jié)束語
本文結(jié)合深圳市芙蓉大橋連續(xù)鋼管拱橋的設(shè)計和施工，建立了一套能夠模擬施工及成橋階段受力特征的鋼管拱系桿拱橋彈性內(nèi)力及空間穩(wěn)定性分析方法和仿真程序，分析了施工階段及成橋階段的空間穩(wěn)定安全系數(shù)。實(shí)際上，由于結(jié)構(gòu)體系在施工過程中不斷轉(zhuǎn)換及工作狀態(tài)的復(fù)雜性，結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)只能控制在一個范圍內(nèi)，而不能是一個定值。結(jié)構(gòu)體系的選擇應(yīng)考慮施工過程及結(jié)構(gòu)的實(shí)際工作狀態(tài)。本文提出的結(jié)論為大橋的設(shè)計及施工提供了科學(xué)依據(jù)，也可供同類型的橋梁參考。橋梁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)是極值點(diǎn)失穩(wěn)，屬于極限承載力問題，但由于對鋼管混凝土的受力性能基礎(chǔ)研究的不足，對鋼管拱的彈塑性分析尚未達(dá)到實(shí)用階段，建議加強(qiáng)這方面研究。
參考文獻(xiàn)
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【2】顧安邦，孫國柱．公路橋涵設(shè)計手冊，拱橋（下冊）．北京：人民交通出版社，1994
【3】龔堯南，王壽梅．結(jié)構(gòu)分析中的非線性有限元素法．北京：北京航空學(xué)院出版社，1986