[摘要]用修正索的彈性模型、無彈性索假定和有彈性索假定三種方法，以斜拉索梁端張力的豎向分力為已知量，求索的斜率、張力、無應力索長等的靜力解。并以設計實例進行計算，通過對比分析計算結果，得出一些結論。
關鍵詞 斜拉索 斜率 張力 無應力索長 靜力解

一、前言
斜拉索具有高度的幾何非線性，其精確計算主要有三個目的：一是確定索端斜率和張力，以指導施工過程中套管的精確定位、掛索、張拉、索力調整等步驟；二是確定索的無應力長度，使在設計張力作用下，成橋狀態時的橋梁線形符合設計要求；三是利用解得的成橋時索長、索力的精確解對成橋狀態斜拉索彈性模量進行修正，有助于橋梁整體準確地靜動力分析。對擬彈性直桿斜拉索的彈性模量進行修正（Ernst公式或精確的等效公式）和近似方法簡便快捷，便于手算，但隨著索長和傾斜度的增大，采用該法受到限制。為求得斜拉索精確靜力解，文獻[1]從整體平衡出發，推導了部分精確解，以常量索的水平分力幾為已知量來求解；文獻［2」假定索為無彈性柔性索，以索梁端張力的豎向分力TAv為己知量，建立了計算索梁端傾角的迭代公式，進而推導出求解斜率、張力和索長的方程，但未給出無應力索長的解；文獻［3」從微元體平衡出發，以索梁端張力的豎向分力TAv為已知量，對不考慮彈性和考慮彈性兩種情況，分別建立了計算索梁端張力的選代方程和方程組，進而推導出求解斜率、張力和索長的解析式。由于在斜拉索設計中，無論實際是在哪端張拉，在確定索初始張拉力時，直接得出的都是索梁端張力的豎向分力，因此，文獻[2]和文獻[3]的方法有很好的實用性。
本文在完善了相關文獻計算公式的基礎上直接給出了斜拉索靜力計算三種方法的計算公式，最后以實例用三種方法計算對比了計算結果，得出一些結論。

二、索的狀態
對于柱式或門柱式塔，棧橋向每側的索一般均設計在同一個平行于橋軸線的垂直平面內，而對于更一般的情況，即對于A字型、花瓶形或鉆石形塔，橫橋向每側的素并不在同一個平行于橋軸線的垂直平面內。每一根索各處在通過其自身的垂直平面內。對于每一根索，其梁端坐標（XA，YA，ZA）和塔端坐標（XB，YB，ZB）決定了索在空間坐標系OXYZ中的位置
(圖1）。通過幾何關系，可將索由空間坐標系向通過索自身的垂直平面oxy內轉換。在oxy平面內，索的水平投影長度
，垂直投影長度h=。因此，索為兩端鉸接于錨固點，承受兩端沿切線方向的張力TA，TB和自重的空間曲線。索的彈性模量為E，截面面積為A，自重集度為q，索在oxy平面內的梁端斜率為KA，塔端斜率為KB。在oxy平面內可求解索的斜率，張力，索長和無應力索長，若需要，還可進而實現斜率，張力和索長由oxy平面向OXY坐標系的轉換。

三、修正彈性按量法的計算公式
修正彈性模量法將斜拉索視為一彈性直桿，對斜拉索的彈性模量進行修正，從而把拉索自重引起的幾何非線性問題線性化。修正彈模的Ernst公式表示如下：

事實上，Ernst公式只是斜拉索精確的等效彈性模量在索處于水平這樣一種特殊情況下的公式。對于處于一般狀態下的索，Ernst公式是近似的等效彈性模量，精確的等效彈性模量表示如下：

修正彈性模量法求解斜拉索的方程、任意點斜率、兩端張力、索長的解析式如下：

中心坐標為X的索微段ds的伸長：

則索的總伸長：

其中，
式（6）可用分段求和法求解，分段數控制解的精度。
則無應力索長為
S0=S-ΔS

四、無彈性假定科拉索的計算公式
由文獻［2］，通過取脫離體建立靜力平衡方程并求解，可得索梁端斜率的迭代方程（文獻[2]式(12)）：

并進而求出以kA為變量的斜拉索方程、任意點斜率、任意點張力、索長的解析式（參見文獻[2]如下：

又由文獻［2」知索微段長：

索微段伸長量為

則索全長伸長量為

令
則積分得

則無應力索長為
S0=S一ΔS
索跨中矢度為
f1/2＝h/2-y1/2。
索最大矢度發生在斜率為h/l的點處，為該點對應的直線與曲線的y值差，解得

五、有彈性假定斜拉索的計算公式
由文獻［3］，通過取微元體建立靜力平衡方程，可得求解索梁端張力的迭代方程組（文獻[3]式（19），（20））：


方程組以索梁端斜率為獨立變量推導而出，實際上也是索梁端斜率的迭代方程。由式（18）有
又已知
將式（19），（20）代人式（17），可得索梁端斜率的迭代方程：

由式（19），（20），（20）可迭代求解知，并進而求出以知為變量的斜拉索方程、任意點斜率、任意點張力、索長、無應力索長、伸長量、跨中矢度、最大矢度的解析式（參見文獻[3])如下：

式（30）中，X為曲線上斜率為h/l的點的水平坐標，由式（24）求解u，代入（22）求解x。

六、計算實例
以跨長江某斜拉橋為例，取中跨最長索、最短索和中間索用三種方法計算。計算中有關非線性方程采用區間對分搜索法求解，計算采用了雙精度。已知參數見表1，計算結果見表2

七、結論
（1）方法1將斜拉索視為彈性直桿，因此不能修正斜率、張力和索長，且索不存在豎向撓曲；而方法2，方法3建立在柔性索靜力平衡關系上，因此能夠修正斜率、張力和索長，且能求解索的豎向撓度。
(2）方法1中，由于精確的等效彈性模量公式考慮了平行于索方向的索自重分力的影響，因此Eeq2<Eeq1,ΔS2>ΔS1，且隨著索長和傾斜度的增加，差值有所增大，但由于K值一般很小，這種差值也很小。可見，在假定索的初應力和最終應力近似相等的前提下，Ernst公式有很好的近似性。
（3）方法1是近似方法，方法3是最符合實際的精確解，方法2是忽略索彈性伸長并引起截面積變化的精確解。由結果可見，方法2和方法3求出的斜率、張力、索長和無應力索長十分接近，且在索長較短、傾斜度不大的情況下，各值幾乎相等。而方法論1同方法2方法3相比較，各值只在索長較短、傾斜度不大的情況下較為接近，否則，相差較大。因此，在初步設計階段或施工圖設計階段對索進行估算時，應用方法1簡便快捷；而在施工圖設計階段要求對索進行精確計算時，須用方法3或方法2。二者計算結果均滿足工程精度要求。

(4)在對成橋后全橋進行整體靜動力分析時，須用方法3或方法2求得的索長、索力對斜拉索彈性模量進行修正，才能更準確地分析斜拉索幾何非線性因素對全橋受力的影響。
(5）無論是方法2或方法3,二者計算的索跨中矢度和最大矢度幾乎相等，因此可認為最大矢度就在跨中而予以直接計算。另外，由于方法3考慮了索的彈性，其計算的矢度值較方法2略小。

參考文獻
［1」李強興．斜拉索靜力解．橋梁建設，1996（3）
[2]程偉，易偉建，劉光棟．斜拉橋柔性索線型分析及快速迭代計算方法．公路，1998（6）
[3]魏建東，趙人達，車惠民．斜拉橋中拉索的靜力設計．橋梁建設，1999（2）
[4]林元培．斜拉橋．北京：人民交通出版社，1997
[5]洪顯誠，劉志英．精確的斜拉索等效彈性模量公式的推導．全國橋梁結構學術大會論文集．同濟大學出版社，1992