【摘要】本文從簡單實用的角度論述了空間杯系結構的幾何非線性分析理論。文中分析了非線性有限元方法的求解過程，特別強調決定幾何非線性收斂結果的關鍵問題，即由節點位移增量計算單元的內力增量。通過引入隨轉坐標系，論述了平面和空間梁單元小應變變形時單元內力增量的計算問題。用本文方法可以分析大跨度
橋梁結構的六位移大旋轉問題。并且用實橋算例進行了驗證。
關鍵詞 大跨度橋梁 幾何非線性 實用分析 非線性有限元 小應變理論 江陰 長江大橋
一.引言．
現代大跨度橋梁等工程結構的柔性特征已十分明顯，對于這些結構考慮幾何非線性的影響己必不可少。并且，計算機能力的大大提高也使得分析大型復雜結構的非線性問題成為可行。80年代國外對幾何非線性問題的發展已相當完善［1，2］，國內在這方面也做了不少的工作［4－6］
在工程結構幾何非線性分析中，按照參考構形的不同可分為TL（Total Lagranrian)法和UL（Updated Lagrangian)法[1]。后來，引入隨轉坐標系后又分別得出 CR（Co-rotational)-TL法和CR－LU法[2,3]，在工程中UL（或CR-UL）法應用較多。以前的文獻大都對結構的幾何剛度矩陣進行了復雜而詳細的推導。從文中的分析可以發現，結構幾何剛度矩陣的精確與否并不實質性地影響迭代收斂的最終結果，求解幾何非線性問題的關鍵在于如何由節點位移增量準確地計算出單元的內力增量，而這一點以前文獻都沒有提到過。因此，本文的重點放在論述單元內力增量的計算上。
工程上很早就開始使用拖動坐標系來求解大跨度橋梁結構的大撓度問題，本文則把它應用到單元內力增量的計算中。從實質上說，這里的拖動坐標系與上面提到的隨轉坐標系沒有區別。因此，在理論方法上，目前文中的方法可以歸類到CR－UL法。但由于本文重點不在于詳細介紹這種方法的理論體系，所以論述中均不再使用該名詞。本文的目的主要是通過簡化復雜的幾何非線性分析方法，推廣該方法在實際工程中的應用。
二、非線性商限元求解過程
對于工程結構的非線性問題，用有限元方法求解時的非線性平衡方程可寫成以下的一般形式：
Fs(δ）-P0（δ）=0 （l）
其中，為節點的位移向量；Fs(δ)為結構的等效節點抗力向量，它隨節點位移及單元內力而變化；PO（δ）為外荷載作用的等效節點荷載向量，為方便起見，這里暫時假定它不隨節點位移而變化。
由于式（l）中的等效節點抗力一般無法用節點位移顯式表示，故不可能直接對非線性平衡方程進行求解。但實際結構的整體切向剛度容易得到，所以通常應用Newton-Raphson迭代方法求解該問題。結構的整體切向剛度矩陣KT可表示如下
dPO＝ KTdδ （2）
式中，KT＝ KE十KG，其中KE為結構的整體彈性剛度矩陣，KG為幾何剛度矩陣。
用混合Newton－Raphson迭代方法求解結構非線性問題的基本過程如下：
(1）將等效節點荷載PO分成n步，ΔP0＝PO／n，計算并組集結構的整體切向剛度矩陣，進入加載步循環；
（2）求解節點位移增量；
（3）計算各單元內力增量，修正單元內力；
（4）更新節點坐標，計算節點不平衡力R；
（5）判斷節點不平衡力R是否小于允許值，如滿足條件，則進入下一個加載步；如不滿足條件，重新計算結構的整體切向剛度矩陣，用R代替ΔP0，回到第2步；
(6）全部加載步完成之后，結束。
從上述求解過程中可見，最為關鍵的一步是第3步，即由節點位移增量計算單元的內力增量。也可以說是由這一步決定了最終的收斂結果，以下將對此著重論述。其實結構的整體切向剛度矩陣對結果并無實質性的影響，修正的NetwRaphson方法正是利用這一點來節省迭代計算的時間。
以前的文獻對空間梁單元幾何剛度矩陣的推導方面論述較多，都建立在一些假定的基礎上，這里就不詳細說明?？紤]到結構的整體切向剛度矩陣精確與否并不改變最終結果，僅影響迭代收斂的速度，并且不是越精確的整體切向剛度矩陣迭代收斂越快。所以，本文建議計算時的單元幾何剛度矩陣來用以下最普遍的形式：
式中，N為單元的軸向拉力。
三、小應變時單元內力增百計算
在一般情況下，工程結構的幾何非線性都屬于小應變大位移（大平移、大轉動）問題。對于這類問題，單元內力增量的計算比較簡單。平面梁單元是空間梁單元發展的基礎，故這里先分析平面梁單元的情況。
圖1表示了平面梁單元在整體坐標系（OXY）下從t到t十Δt時刻的變形情況。定義隨轉坐標系（oxy）的原點固定在單元的一端（i端），x軸始終保持沿i→j的直線方向?？梢姡陔S轉坐標系中平面梁單元的自由度減少為三個（uxθiθj），并有如下的關系式
式中，L（t）和L（t十Δt）分別為 t和t十Δt時刻梁單元的直線長度。
從隨轉坐標系中的三個自由度可以看出，它們反映的是單元的真實變形情況，與單元所經歷的剛性位移無關。在用有限元方法求解非線性問題時，只要將單元尺寸劃分得適當小，整體坐標系下的小應變大位移問題在單元隨轉坐標系中就轉化為小應變小位移問題，這一點可從非線性連續介質力學給出證明。這樣，隨轉坐標系下的受力變形情況就可近似地接線性處理，單元內力增量的計算也就與線性情況一樣，這里不再贅述。同時也正說明了工程中常用拖動坐標法計算平面結構大變形問題的正確性。
四、算例分析
結合以上論述，編制了相應的非線性有限元計算程序。為驗證本文方法和有限元程序，下面首先分析了45度彎梁空間彎扭大位移問題。大跨度懸索橋在施工階段的幾何非線性比較明顯，因此，必須準確地考慮，否則計算結果可能不正確。作為實橋算例，對江陰長江大橋在20％拼裝率施工階段的幾何非線性問題進行了分析，并與Ansys程序的計算結果相比較。
1．45度彎梁空間彎扭六位移分析
本例是ADINA中的45度彎梁大位移分析考題，梁的形狀和截面尺寸見圖5。該梁位于X一y平面內，梁根固定，在自由端沿Z方向受一個集中荷載的作用，梁因此發生空間彎扭大變形。分析時將梁劃分為8個單元，每步加載量為10.0，有關參數見圖5中所示。分別用ADINA，AnsyS和本文程序計算了60個加載步，各計算結果均基本上一致。梁自由端無量綱位置坐標在初始時刻，加載30步與加載60步時的比較列于表1，可見三者相互較吻合。為了進行對比，都沒有考慮剪切影響。為簡潔起見，這里不指定專門的量綱單位。
2．江陰長江大橋非線性分析
江陰長江大橋是我國目前建成的最大跨度懸索橋，見圖6所示。主跨跨度為1385m。主梁為寬36.9m，高3.0m的扁平狀閉口鋼箱梁。主纜相距32.5米，吊桿間距為1.6m，矢跨比為 l／10.5。橋塔為門式框架結構，南北橋塔高分別為187m和184m。橋面波置為R＝27710m的豎曲線。
根據設計資料，建立了江陰長江大橋的計算模型。在成橋狀態下，單根主纜的水平內力約為23878t，單根吊桿的內力約為144t，考慮到懸索橋在施工時主纜與塔頂有相對位移，計算模型中主纜與塔頂在順橋向可自由移動，而其他方向均耦聯。
懸索橋施工過程中分段安裝主梁，小拼裝率時各主梁段之間相互餃接。由于懸索橋在成橋狀態的位置和內力一般為已知，施工狀態均從成橋狀態通過拆除梁段的方法確定。圖7繪出了江陰長江大橋在成橋狀態拆除兩端梁段后，但未發生變形之前20％拼裝率的初始狀態。由于該初始狀態的節點位置和單元內力均為己知，用以上的非線性有限元程序可得出20％拼裝率變形后的施工平衡狀態。見圖8所示。從圖中可見，在變形后的施工平衡狀態下，跨中梁段隨主纜發生了較大的燒曲，主跨兩端的主纜形狀比成橋狀態時變化較明顯?？缰胸Q向向下的位移為2.595m，塔頂處的主纜發生向外0.669m的位移。為驗證該程序的計算結果，對上述同樣的工況用AnsyS程序進行了分析。計算結果中跨中向下的位移為2.581m，塔頂處主纜向外的位移0.664m。從本文方法的變形和內力結果與Ansys程序計算結果的比較發現，兩者均較吻合，這就驗證了本文方法和非線性有限元程序的可靠性和有效性。
五、結語
以上從簡單實用的角度論述了空間杯系結構的幾何非線性分析理論。通過對有限元求解幾何非線性問題過程的分析，特別強調了用選代方法求解杯系結構幾何非線性問題中的關鍵問題，即由節點的位移增量計算單元內力增量的重要性。在引人隨轉坐標系之后，論述了小應變問題中單元內力增量的計算。從論述中可知，隨轉坐標系下的受力變形情況可近似地接線性處理，單元內力增量的計算也與線性情況一樣，同時也說明了工程中常用拖動坐標法計算大跨度橋梁結構大變形問題的正確性。
對空間桿系結構用數值算例對本文方法進行了驗證。為保證分析結果的正確性，用多個程序進行相互校核。
對江陰長江大橋在20％拼裝率施工階段的幾何非線性問題進行了分析，分析結果與
AnsyS程序的計算結果吻合。從分析中可見，在小拼裝率施工階段，懸索橋跨中梁段隨主纜
發生了較大的撓曲，主跨兩端的主纜形狀比成橋狀態時變化比較明顯。
參考文獻
[1]K．J．Bathe＆ S．Bofourchi，Large displacement analysis of three－dimensional beam structures，Int．J．Num．Meth．Eng，V14（1979（， 961－986
［2］K．M．Hsiao，H．J．Horng ＆Y．R．Chen，A corotational procedure that handle large rotations of Spstial beam structures Comput.Struct．27（1987），769－781
［3］G． Narayanan， C．S．Krihnamoorthy，An investigation of geometric non－linear formulation for 3－D beam element， Int． J．Non-linear Mechanics，1990，25（6）， 643-662
［4］陳政清，曾慶元，顏全勝．空間桿系結構大撓度問題內力分析 UL列式法．土木工程學報，1992，25（2），34-43
[5]黃文，李明瑞，黃文彬.桿系結構的幾何非線性分析一Ⅱ三維問題．計算結構力學及其應用，1995，12（2），133-141
［6］潘家英，程慶國．大跨度懸索橋有限位移分析．土木工程學報，1994，27（1），l-10
橋梁結構的六位移大旋轉問題。并且用實橋算例進行了驗證。
關鍵詞 大跨度橋梁 幾何非線性 實用分析 非線性有限元 小應變理論 江陰 長江大橋
一.引言．
現代大跨度橋梁等工程結構的柔性特征已十分明顯，對于這些結構考慮幾何非線性的影響己必不可少。并且，計算機能力的大大提高也使得分析大型復雜結構的非線性問題成為可行。80年代國外對幾何非線性問題的發展已相當完善［1，2］，國內在這方面也做了不少的工作［4－6］
在工程結構幾何非線性分析中，按照參考構形的不同可分為TL（Total Lagranrian)法和UL（Updated Lagrangian)法[1]。后來，引入隨轉坐標系后又分別得出 CR（Co-rotational)-TL法和CR－LU法[2,3]，在工程中UL（或CR-UL）法應用較多。以前的文獻大都對結構的幾何剛度矩陣進行了復雜而詳細的推導。從文中的分析可以發現，結構幾何剛度矩陣的精確與否并不實質性地影響迭代收斂的最終結果，求解幾何非線性問題的關鍵在于如何由節點位移增量準確地計算出單元的內力增量，而這一點以前文獻都沒有提到過。因此，本文的重點放在論述單元內力增量的計算上。
工程上很早就開始使用拖動坐標系來求解大跨度橋梁結構的大撓度問題，本文則把它應用到單元內力增量的計算中。從實質上說，這里的拖動坐標系與上面提到的隨轉坐標系沒有區別。因此，在理論方法上，目前文中的方法可以歸類到CR－UL法。但由于本文重點不在于詳細介紹這種方法的理論體系，所以論述中均不再使用該名詞。本文的目的主要是通過簡化復雜的幾何非線性分析方法，推廣該方法在實際工程中的應用。
二、非線性商限元求解過程
對于工程結構的非線性問題，用有限元方法求解時的非線性平衡方程可寫成以下的一般形式：
Fs(δ）-P0（δ）=0 （l）
其中，為節點的位移向量；Fs(δ)為結構的等效節點抗力向量，它隨節點位移及單元內力而變化；PO（δ）為外荷載作用的等效節點荷載向量，為方便起見，這里暫時假定它不隨節點位移而變化。
由于式（l）中的等效節點抗力一般無法用節點位移顯式表示，故不可能直接對非線性平衡方程進行求解。但實際結構的整體切向剛度容易得到，所以通常應用Newton-Raphson迭代方法求解該問題。結構的整體切向剛度矩陣KT可表示如下
dPO＝ KTdδ （2）
式中，KT＝ KE十KG，其中KE為結構的整體彈性剛度矩陣，KG為幾何剛度矩陣。
用混合Newton－Raphson迭代方法求解結構非線性問題的基本過程如下：
(1）將等效節點荷載PO分成n步，ΔP0＝PO／n，計算并組集結構的整體切向剛度矩陣，進入加載步循環；
（2）求解節點位移增量；
（3）計算各單元內力增量，修正單元內力；
（4）更新節點坐標，計算節點不平衡力R；
（5）判斷節點不平衡力R是否小于允許值，如滿足條件，則進入下一個加載步；如不滿足條件，重新計算結構的整體切向剛度矩陣，用R代替ΔP0，回到第2步；
(6）全部加載步完成之后，結束。
從上述求解過程中可見，最為關鍵的一步是第3步，即由節點位移增量計算單元的內力增量。也可以說是由這一步決定了最終的收斂結果，以下將對此著重論述。其實結構的整體切向剛度矩陣對結果并無實質性的影響，修正的NetwRaphson方法正是利用這一點來節省迭代計算的時間。
以前的文獻對空間梁單元幾何剛度矩陣的推導方面論述較多，都建立在一些假定的基礎上，這里就不詳細說明?？紤]到結構的整體切向剛度矩陣精確與否并不改變最終結果，僅影響迭代收斂的速度，并且不是越精確的整體切向剛度矩陣迭代收斂越快。所以，本文建議計算時的單元幾何剛度矩陣來用以下最普遍的形式：
式中，N為單元的軸向拉力。
三、小應變時單元內力增百計算
在一般情況下，工程結構的幾何非線性都屬于小應變大位移（大平移、大轉動）問題。對于這類問題，單元內力增量的計算比較簡單。平面梁單元是空間梁單元發展的基礎，故這里先分析平面梁單元的情況。
圖1表示了平面梁單元在整體坐標系（OXY）下從t到t十Δt時刻的變形情況。定義隨轉坐標系（oxy）的原點固定在單元的一端（i端），x軸始終保持沿i→j的直線方向?？梢姡陔S轉坐標系中平面梁單元的自由度減少為三個（uxθiθj），并有如下的關系式
式中，L（t）和L（t十Δt）分別為 t和t十Δt時刻梁單元的直線長度。
從隨轉坐標系中的三個自由度可以看出，它們反映的是單元的真實變形情況，與單元所經歷的剛性位移無關。在用有限元方法求解非線性問題時，只要將單元尺寸劃分得適當小，整體坐標系下的小應變大位移問題在單元隨轉坐標系中就轉化為小應變小位移問題，這一點可從非線性連續介質力學給出證明。這樣，隨轉坐標系下的受力變形情況就可近似地接線性處理，單元內力增量的計算也就與線性情況一樣，這里不再贅述。同時也正說明了工程中常用拖動坐標法計算平面結構大變形問題的正確性。
四、算例分析
結合以上論述，編制了相應的非線性有限元計算程序。為驗證本文方法和有限元程序，下面首先分析了45度彎梁空間彎扭大位移問題。大跨度懸索橋在施工階段的幾何非線性比較明顯，因此，必須準確地考慮，否則計算結果可能不正確。作為實橋算例，對江陰長江大橋在20％拼裝率施工階段的幾何非線性問題進行了分析，并與Ansys程序的計算結果相比較。
1．45度彎梁空間彎扭六位移分析
本例是ADINA中的45度彎梁大位移分析考題，梁的形狀和截面尺寸見圖5。該梁位于X一y平面內，梁根固定，在自由端沿Z方向受一個集中荷載的作用，梁因此發生空間彎扭大變形。分析時將梁劃分為8個單元，每步加載量為10.0，有關參數見圖5中所示。分別用ADINA，AnsyS和本文程序計算了60個加載步，各計算結果均基本上一致。梁自由端無量綱位置坐標在初始時刻，加載30步與加載60步時的比較列于表1，可見三者相互較吻合。為了進行對比，都沒有考慮剪切影響。為簡潔起見，這里不指定專門的量綱單位。
2．江陰長江大橋非線性分析
江陰長江大橋是我國目前建成的最大跨度懸索橋，見圖6所示。主跨跨度為1385m。主梁為寬36.9m，高3.0m的扁平狀閉口鋼箱梁。主纜相距32.5米，吊桿間距為1.6m，矢跨比為 l／10.5。橋塔為門式框架結構，南北橋塔高分別為187m和184m。橋面波置為R＝27710m的豎曲線。
根據設計資料，建立了江陰長江大橋的計算模型。在成橋狀態下，單根主纜的水平內力約為23878t，單根吊桿的內力約為144t，考慮到懸索橋在施工時主纜與塔頂有相對位移，計算模型中主纜與塔頂在順橋向可自由移動，而其他方向均耦聯。
懸索橋施工過程中分段安裝主梁，小拼裝率時各主梁段之間相互餃接。由于懸索橋在成橋狀態的位置和內力一般為已知，施工狀態均從成橋狀態通過拆除梁段的方法確定。圖7繪出了江陰長江大橋在成橋狀態拆除兩端梁段后，但未發生變形之前20％拼裝率的初始狀態。由于該初始狀態的節點位置和單元內力均為己知，用以上的非線性有限元程序可得出20％拼裝率變形后的施工平衡狀態。見圖8所示。從圖中可見，在變形后的施工平衡狀態下，跨中梁段隨主纜發生了較大的燒曲，主跨兩端的主纜形狀比成橋狀態時變化較明顯?？缰胸Q向向下的位移為2.595m，塔頂處的主纜發生向外0.669m的位移。為驗證該程序的計算結果，對上述同樣的工況用AnsyS程序進行了分析。計算結果中跨中向下的位移為2.581m，塔頂處主纜向外的位移0.664m。從本文方法的變形和內力結果與Ansys程序計算結果的比較發現，兩者均較吻合，這就驗證了本文方法和非線性有限元程序的可靠性和有效性。
五、結語
以上從簡單實用的角度論述了空間杯系結構的幾何非線性分析理論。通過對有限元求解幾何非線性問題過程的分析，特別強調了用選代方法求解杯系結構幾何非線性問題中的關鍵問題，即由節點的位移增量計算單元內力增量的重要性。在引人隨轉坐標系之后，論述了小應變問題中單元內力增量的計算。從論述中可知，隨轉坐標系下的受力變形情況可近似地接線性處理，單元內力增量的計算也與線性情況一樣，同時也說明了工程中常用拖動坐標法計算大跨度橋梁結構大變形問題的正確性。
對空間桿系結構用數值算例對本文方法進行了驗證。為保證分析結果的正確性，用多個程序進行相互校核。
對江陰長江大橋在20％拼裝率施工階段的幾何非線性問題進行了分析，分析結果與
AnsyS程序的計算結果吻合。從分析中可見，在小拼裝率施工階段，懸索橋跨中梁段隨主纜
發生了較大的撓曲，主跨兩端的主纜形狀比成橋狀態時變化比較明顯。
參考文獻
[1]K．J．Bathe＆ S．Bofourchi，Large displacement analysis of three－dimensional beam structures，Int．J．Num．Meth．Eng，V14（1979（， 961－986
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［4］陳政清，曾慶元，顏全勝．空間桿系結構大撓度問題內力分析 UL列式法．土木工程學報，1992，25（2），34-43
[5]黃文，李明瑞，黃文彬.桿系結構的幾何非線性分析一Ⅱ三維問題．計算結構力學及其應用，1995，12（2），133-141
［6］潘家英，程慶國．大跨度懸索橋有限位移分析．土木工程學報，1994，27（1），l-10
