[摘要]本文采用頻域分析法考慮TMD在多自由度結(jié)構(gòu)中的位置和結(jié)構(gòu)振型特征，推導(dǎo)了具有 MTMD的NDOF結(jié)構(gòu)受控制型廣義坐標(biāo)的頻率響應(yīng)方程，據(jù)此進(jìn)行MTMD的參數(shù)優(yōu)化和設(shè)計(jì)，算例表明只要MTMD設(shè)計(jì)正確，它就可以有效地減小對結(jié)構(gòu)起控制性作用的地震波的動(dòng)力響應(yīng)。
關(guān)鍵詞 MTMD 被動(dòng)控制 頻率響應(yīng)方程 參數(shù)優(yōu)化


一、概述
早在1909年，美國的Frahm[1]就提出用一個(gè)質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)來控制或削弱另一個(gè)質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)這一概念并申請了專利，在這之后，人們進(jìn)行了大量的研究。Frahm當(dāng)時(shí)提出調(diào)諧質(zhì)量吸振器這一設(shè)備是為了減小船舶的動(dòng)力反應(yīng)，后來慢慢地應(yīng)用于土木工程領(lǐng)域房屋建筑，用來減小建筑在風(fēng)、地震作用下的振動(dòng)和使用荷載所引起的振動(dòng)（如跳舞）。對于調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的研究，在相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)，絕大多數(shù)都集中在單個(gè)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的研究[1,2]。
由于TMD發(fā)揮作用的前提是準(zhǔn)確調(diào)頻，STMD僅為一個(gè)頻率值，由于各種各樣的原因受控振型的頻率很難準(zhǔn)確知道，而且在振動(dòng)過程中結(jié)構(gòu)的頻率也會(huì)發(fā)生變化，因此STMD的準(zhǔn)確調(diào)頻幾乎不可能實(shí)現(xiàn)，在實(shí)際中也就難以應(yīng)用，而且在一個(gè)位置設(shè)置一個(gè)較大的質(zhì)量從設(shè)計(jì)和施工的角度來看也難以實(shí)現(xiàn)，因此需要采用TMD的其它形式。為了解決提高TMD對主系統(tǒng)和TMD自身不確定因素的魯棒性（Robustness），最近幾年，一些學(xué)者開始研究 MTMD[3,4,5,6,7,8]。但是，上述對 STMD、MTMD的研究實(shí)際上均是針對單自由度主結(jié)構(gòu)而言的，而且真正進(jìn)行TMD實(shí)橋地震分析的也很少。本文采用頻域分析法考慮TMD在多自由度結(jié)構(gòu)中的位置和結(jié)構(gòu)振型特征，推導(dǎo)了具有MTMD的MDOF結(jié)構(gòu)受控振型廣義坐標(biāo)的頻率響應(yīng)方程，據(jù)此進(jìn)行MTMD的參數(shù)優(yōu)化和設(shè)計(jì)，同時(shí)還給出了一座橋的算例。

二、MDOF結(jié)構(gòu)中MTMD受控報(bào)型的頻率幅值方程
設(shè)結(jié)構(gòu)的自由度為m，TMD的個(gè)數(shù)n（設(shè)為奇數(shù)），MTMD的頻率以控制振型的頻率為中心已按一定的間隔等間距分布，為了便于加工和制作，每個(gè)TMD采用相同的剛度和阻尼常數(shù)，僅有質(zhì)量發(fā)生變化。設(shè)MTMD的運(yùn)動(dòng)方向沿結(jié)構(gòu)的第i個(gè)自由度，則具有MTMD的MDOF結(jié)構(gòu)的動(dòng)力平衡方程為：

式（l）中X（t）為MDOF結(jié)構(gòu)相對于地面的動(dòng)力位移，M，C，K，R分別為MDOF結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣幾度矩陣和地震波輸入方向矩陣。其中F（t）為：




由于Ms，Cs，Ks僅在第一行、第一列和對角線上有非零元素，第i個(gè)振型的廣義坐標(biāo)η的振幅響應(yīng)yij（w）為y（w）的第一個(gè)元素，可采用克萊姆規(guī)則求得，經(jīng)過數(shù)學(xué)整理，yij（w）最終可變換為：

式中

其中：g＝w／wi=外部激勵(lì)頻率／受控振型頻率；ξi：受控制振型的阻尼比；
φij：受控制型對應(yīng)第j個(gè)自由度的振幅值；ξh：第h個(gè)TMD的阻尼比。

三、MTMD的參數(shù)分析與設(shè)計(jì)
在設(shè)計(jì)MTMD時(shí)應(yīng)確定的參數(shù)包括：MTMD中TMD的個(gè)數(shù)、每個(gè)TMD的剛度常數(shù),每個(gè)TMD的阻尼常數(shù)、TMD的頻率間隔。
大量的計(jì)算表明，針對不同的結(jié)構(gòu)或同一結(jié)構(gòu)的不同振型，MTMD的優(yōu)化參數(shù)會(huì)不同，必需針對具體結(jié)構(gòu)的具體振型進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化分析，限于篇幅，下面直接給出算例關(guān)家溝大橋的縱橫向MTMD（分別控制縱模向的地震反應(yīng)）的優(yōu)化參數(shù)：

四、MTMD控制地震時(shí)程分析
關(guān)家溝大橋[9]為簡支梁橋，全長464米，是四川省萬縣－梁平高速公路上的一座高架橋梁，全橋采用11孔40m跨徑預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁，雙柱式薄壁離墩，"U"形重力式橋臺(tái)。該橋以相對溝底逾百米的高差凌空跨過谷地，具有多個(gè)高橋墩，高度最大的橋墩在自然地面以上97m。計(jì)算模型見圖1。為了具體分析設(shè)置MTMD的制振效果，本文采用19條不同的地震波對關(guān)家溝大橋縱橫向分寶進(jìn)行了設(shè)置MTMD前后的地震響應(yīng)時(shí)程分析，計(jì)算表明，對于絕大部分地震波MTMD都起到了較好的制振作用，限于篇幅，僅給出兩條地震波作用下的位移響應(yīng)時(shí)程：

從圖2～圖5可以看出，MTMD明顯地改變了結(jié)構(gòu)的時(shí)程響應(yīng)，使動(dòng)力反應(yīng)減小，在最初的幾秒內(nèi)，MTMD對時(shí)程響應(yīng)基本上沒有改變，這是因?yàn)椋琈TMD還處于啟動(dòng)階段，還沒有充分運(yùn)動(dòng)起來的緣故。雖然有些地震波在個(gè)別時(shí)刻有反應(yīng)增大現(xiàn)象，但都是在響應(yīng)較小的非強(qiáng)振時(shí)刻，無關(guān)緊要。

另外還應(yīng)該注意到一個(gè)很重要的情況，那就是地面激勵(lì)的頻率成分和各頻率成分所攜帶的能量（或者振幅值的大小），如果地震波具有較大的加速度峰值且其攜帶主要能量的頻率成分接近于結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的主控頻率，則這條地震波將對結(jié)構(gòu)起控制作用，反之，如果攜帶主要能量的頻率成分偏離結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的主控頻率，則這條地震波將對結(jié)構(gòu)不起控制作用。TMD要吸收結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的能量，一個(gè)前提條件是TMD必須充分運(yùn)動(dòng)起來，如果TMD沒有相對主結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)起來，則其將起反作用而導(dǎo)致增大結(jié)構(gòu)的反應(yīng)（相當(dāng)于原結(jié)構(gòu)的質(zhì)量增加了，n為MTMD中TMD的總數(shù)）；如果運(yùn)動(dòng)起來了。但運(yùn)動(dòng)大小，則其所起的作用也相應(yīng)較小。對于起控制作用的地震波，因?yàn)樗鼘⒊纱蠼Y(jié)構(gòu)主控振型的動(dòng)力響應(yīng)，相應(yīng)地也會(huì)使TMD產(chǎn)生較大的運(yùn)動(dòng)，因而會(huì)對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較好的控制效果。對結(jié)構(gòu)不起控制作用的地震波由于其攜帶主要能量的頻率成分偏離結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的主控頻率，則它不會(huì)放大結(jié)構(gòu)主控振型的動(dòng)力響應(yīng)，相應(yīng)地也不會(huì)使TMD產(chǎn)生較大的運(yùn)動(dòng)，因而不會(huì)對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較好的控制效果，但這無關(guān)緊要，因?yàn)樗鼘Y(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)不起控制作用，這種地震波本來就不屬于控制對象。
還有這樣一種情況，那就是最大峰值反應(yīng)的出現(xiàn)時(shí)刻太平，TMD還來不及充分運(yùn)動(dòng)起來，強(qiáng)振時(shí)段就已過去，此時(shí)即使地震波攜帶主要能量的頻率成分接近結(jié)構(gòu)受控振型的頻率，TMD的制振效果也會(huì)稍差一些，從大量的算例來看這只是個(gè)別的情況。

五、結(jié)論
本文采用頻域分析法考慮TMD在多自由度結(jié)構(gòu)中的位置和結(jié)構(gòu)振型特征，推導(dǎo)了具有MTMD的MDOF結(jié)構(gòu)受控振型廣義坐標(biāo)的頻率響應(yīng)方程，據(jù)此進(jìn)行MTMD的參數(shù)優(yōu)化和設(shè)計(jì)，算例表明只要MTMD設(shè)計(jì)正確，它就可以有效地減小對結(jié)構(gòu)起控制性作用的地震波的動(dòng)力響應(yīng)。

參考文獻(xiàn)
[1] Rahul Rana and T.T. Soong, Parametric study and simplified design of tuned mass dampers, Engineering Structures.Vol. 20. No. 3. PP. 193~204, 1998
[2] G.B.Warburton, Optimum absorber parameters for various combinations of response and excitation parameters,Earthquake Eng. Struct. Dyn. VoI. 10, 381 ~401(1982).
[3] Ahsan Kareem, Member, ASCE, and Samuel Kline, Performance of multiple mass dampers Under random loading,Journal of Structural Engineering, Vol. 121. No. 2. FebrUary, 1995. ASCE. ISSN 0733-9445/95/0002-0348-0361.
[4] Kangming Xu and Takeru Igusa, Dynamic characteristics of multiple substructures with closely spaced frequencies,Earthquake Eng. Struct. Dyn. Vol. 21, 1059~ 1070 (1992).
[5] T. lgusa and K. xu, Vibration control using multiple tuned mass dampers, J. Sound and Vibration Vol. 175(4), 491 -503(l994).
[6] Masato Abe and Yozo Fujino, Dynamic characterization of multiple tuned mass dampers and some design formulas,Earthquake Eng. Struct. Dyn. vol. 23 813 ~835(1994)
[7] R. S. Jangid, Dynamic characteristics of structures with multiple tuned mass dampers, Structural Engineering and Mechanics, Vol. 3, No. 5(1995)497~509.
[8] Hiroki Yamaguchi and Napat harnpornchai, Fundamental characteristics of muhiple tuned mass dampers for suppressing harmonically forced oscillations, Earthquake Eng. Struct. Dyn. Vol. 22, 51~62(1993).
[9]賀立新，田波。公路橋梁超高墩的設(shè)計(jì)與實(shí)施。第十三屆全國橋梁學(xué)術(shù)會(huì)議論文集。1998.11.16～19，上海