【摘要】采用合理的振型假設，對斜拉橋施工最大雙懸臂狀態的抖振響應進行了簡化計算，同時對結構的背景響應也進行了研究，得到了一系列適用于橋梁抗風設計初步估算的計算公式。同時結合南京長江二橋、福州閩江大橋以及荊沙長江大橋進行了算例分析。
關鍵詞 斜拉橋 抖振 最大雙懸臂 背景響應 振型假設
大跨斜拉橋在外部風荷載的作用下，結構上的抖振響應是不容忽視的。一般來說，由于素流成分和運動分量之間的相互作用，各類風致振動之間的相互干擾現象，以及各運動分量的氣動耦合和各階振型之間的耦會等因素，精確計算抖振響應是較為困難的。但大量的風洞試驗和理論計算表明，影響抖振振幅的主要是結構前幾個振型的貢獻，尤其是基階振型的貢獻。因此在對結構抖振響應進行初步分析時，可只取第一階振型來計算，從而對抖振響應作出快速估計。
在斜拉橋的施工階段，抖振響應也應予以重視，因為施工中過大的抖振振幅將不利于橋上施工人員和施工機械的安全。在斜拉橋的橋塔建成后，主梁往往采用懸臂拼裝法施工。在主梁尚未在跨中合龍前，由于斜拉索、邊跨輔助墩以及施工臨時墩等結構因素的影響，經常會出現風振不利狀態，加施工最大雙懸臂狀態和最大單懸臂狀態等，這種現象在大跨橋梁的風洞試驗中也得到了證實，因此不能忽視斜拉橋施工階段的風振響應。考慮到施工周期的影響，可以在風速取較低保證率的前提下分析斜拉橋施工階段的抖振。本文將重點討論斜拉橋施工最大雙懸臂狀態時的抖振響應問題。
一、基本假定
為便于分析，在下面的公式推導及計算中，采用了如下基本假定：①橋梁結構周圍的地形近似水平，且在足夠大的范圍內，地表粗糙度沒有大的變化；②結構是線彈性的，可以采用位移疊加原理心結構對風荷載的抖振響應主要是第一階振型的貢獻，二階或更高階振型的影響可忽略不計。對于本文所討論的雙懸臂狀態，可近似將第一階振型取為一次比例函數的形式，即φ（X）＝X／L；④各振動模態間不存在氣動耦合；⑤風速互譜的作用可以忽略不計，這樣處理給抖振力譜帶來的誤差僅在5％～7％之間［1］。
二、抖振位移響應的簡化計算方法
1．基本理論
依據隨機振動理論，抖振位移響應的根方差與功率譜密度函數之間存在著下面的關系：
以結構水平側向抖振為例，其抖振位移響應的根方差為：
2．公式推導
由聯合接受函數的表達可以看出其大小主要取決于振型函數的形式。由前面的基本假定，在下面的分析中，均假設跨度為2L（橋塔到兩個懸臂端的長度均假定為L）的橋梁結構的第一階側向彎曲振型函數(即一階側擺）為φ1（x）＝x／L。則第一階振型的廣義質量為mp=2/3m(x)L，其中，m（x）為主梁跨向單位長度質量，在本文中均假定質量沿跨長均勻分布，即有m（x）＝ m0。
其中， c＝λnL／U，λ為反映風譜空間相關性的系數，一般偏保守地取為7。
將各項適當合并后，得到側向抖振響應根方差的表達：
其中，
下面采用曲線擬會的方法對它進行近似求解。
上式中，右端第一項即為背景響應分量，第二項為共振響應分量。由此可以得到背景響應與共振響應之間的比值為
將風速譜、聯合接受函數以及氣動導納函數（取為Sears函數）代人E（n）的表達式中，有
其中，f＝nz／U為莫寧坐標； c＝λnL／U=λ（L／z）f，K＝Bω／U＝2π(B／z）f。
若令f1=n1z/U，則有
其中，T0，T1是對G（f）進行指數曲線擬會求解積分值后的參數（見圖1，此處，L／Z＝10，B／Z＝0.5）。一般有
雖然實際曲線在低頻段與擬會曲線差異較大，但由于在擬合時以曲線和兩個坐標軸間包圍的面積作為控制參數，因此，積分值的精度得到很好保證。經研究，兩者的誤差在1％以內。參數、可按下面的原則取值，即T0≈max［G（f）」，這樣將使擬會的誤差盡可能地減小。
參數T0，T1一般可由附表 1～2，對具體橋梁結構的參數L／Z，B／Z，通過線性內插得到。
經整理，最后可得側向抖振響應根方差的最大值（振型函數值為1處，即懸臂端）為
3．豎向及扭轉抖振位移響應的計算
這兩種振動形式的處理與上面所述的側向運動有所不同，主要體現在抖振力譜的表達形式上。豎向和扭轉抖振力譜分別為
式（12）、（13）均是兩項和的形式，因此可以對各項單獨考慮，而后再組合在一起。此處略去具體的處理過程，僅給出具體結果。豎向抖振響應根方差的最大值為
TO1，T11，T02，T12為擬合參數，其中，T01，T11的選取與上節T0，T1的選取完全相同，
具體可參見附表1、附表2；參數T01，T12的選取則參見附表3、附表4。
同理可得扭轉抖振響應根方差最大值的簡化表達為：
4．結構背景響應分析
在上面的一系列抖振響應表達式中，均涉及到參數α。它定義為結構背景響應部分與共振響應部分的比值（該處所謂的響應是廣義的，并不是具體的抖振響應數值）。一般來說，背景響應在一定的條件下，有可能超過共振響應從而占據主導地位；因此，背景響應部分一般不容忽略。
若僅考慮共振響應，則各振型的抖振響應根方差可表達為
根據參數α的定義，可以計算出背景響應在結構總體響應中所占的比例。令背景響應比例因子為β，則有
分別代入三個方向的抖振響應根方差，就可以得到產基于不同振型的表達：
關于背景響應比例因子的討論，可參見下節的算例分析。
三、算例分析
1．基本資料
（l）南京長江二橋
該橋位于長江在南京河段的八卦洲漢道處。其中南漢主航道橋設計方案為帶輔助墩的雙塔斜索面銅箱梁斜拉橋，主跨628m。橋塔為混凝土結構，由雙柱組成倒Y形，主梁為帶風嘴的閉口鋼箱梁。
（2）福州閩江大橋
該橋位于福州市馬尾區青州路及長樂縣籌東村之間，是福州長樂國際機場連接福州市區的專用通道上跨越閩江的交通工程。新方案為主跨 605m的 A型雙塔斜索面、 Ⅰ字型邊主梁結合梁斜拉橋。
（3）荊沙長江大橋（北漢）
該橋位于湖北省荊沙市，北起荊沙市太岳路與南湖路交叉口，與南岸公安縣陳沙公路相接。其中北漢通航孔橋為主跨500m的H型雙塔雙索面預應力混凝土斜拉橋，主梁采用分離式邊主梁斷面。
三座大橋用于抖振響應計算的基本數據一并列于表1中。
2．計算結果及分析
表2給出了用本文所述方法對三座大橋施工最大雙懸臂狀態的懸臂端抖振位移響應根方差和背景響應比例因子的計算結果，并與數值計算的結果進行了比較。
計算結果分析：
①誤差分析。在不考慮背景響應時，采用本文簡化方法的計算結果與文獻中給出的結果較為接近，誤差基本上在20％以內，在大跨橋梁抗風設計的初步階段，可用來對結構的抖振響應做出快速估計。
②背景響應的影響。結構的背景響應在一定條件下會很顯著，甚至超越共振響應從而占據主導地位。從表中還可以看出，豎向抖振響應的背景分量一般均較小，這主要是由于結構一階豎彎頻率都較低的原因。一般地，結構的跨度、寬度、阻尼比、頻率以及風速、地表粗糙程度等都會對背景響應產生一定的影響。
四、結論
① 斜拉橋施工最大雙懸臂狀態抖振響應計算的基本公式匯總如下：
②結構的背景響應在整個抖振響應中所占的比例一般不容忽略。通過分析，給出了基于不同振型的背景響應比例因子的具體表達：
最后，通過算例較好地驗證了本文簡化方法的適用性。
參考文獻
【1】陳偉，大跨橋梁抖振反應譜研究。同濟大學博士學位論文，1993．3
【2】橋梁抖振反應港及等效風荷載研究，同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，1999．9
【3】南京長江二橋斜拉橋抗風性能試驗研究（二），同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，1999．5
【4】南京長江二橋斜拉橋抗風性能試驗研究（四），同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，1999．11
【5】荊沙長江公路大橋主橋抗風研究（一），同濟大學土木工程防災國家實驗室，1998．l
【6】福州市青州路閩江大橋結合梁斜拉橋抗鳳性能試驗研究（一），同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，1998．3
關鍵詞 斜拉橋 抖振 最大雙懸臂 背景響應 振型假設
大跨斜拉橋在外部風荷載的作用下，結構上的抖振響應是不容忽視的。一般來說，由于素流成分和運動分量之間的相互作用，各類風致振動之間的相互干擾現象，以及各運動分量的氣動耦合和各階振型之間的耦會等因素，精確計算抖振響應是較為困難的。但大量的風洞試驗和理論計算表明，影響抖振振幅的主要是結構前幾個振型的貢獻，尤其是基階振型的貢獻。因此在對結構抖振響應進行初步分析時，可只取第一階振型來計算，從而對抖振響應作出快速估計。
在斜拉橋的施工階段，抖振響應也應予以重視，因為施工中過大的抖振振幅將不利于橋上施工人員和施工機械的安全。在斜拉橋的橋塔建成后，主梁往往采用懸臂拼裝法施工。在主梁尚未在跨中合龍前，由于斜拉索、邊跨輔助墩以及施工臨時墩等結構因素的影響，經常會出現風振不利狀態，加施工最大雙懸臂狀態和最大單懸臂狀態等，這種現象在大跨橋梁的風洞試驗中也得到了證實，因此不能忽視斜拉橋施工階段的風振響應。考慮到施工周期的影響，可以在風速取較低保證率的前提下分析斜拉橋施工階段的抖振。本文將重點討論斜拉橋施工最大雙懸臂狀態時的抖振響應問題。
一、基本假定
為便于分析，在下面的公式推導及計算中，采用了如下基本假定：①橋梁結構周圍的地形近似水平，且在足夠大的范圍內，地表粗糙度沒有大的變化；②結構是線彈性的，可以采用位移疊加原理心結構對風荷載的抖振響應主要是第一階振型的貢獻，二階或更高階振型的影響可忽略不計。對于本文所討論的雙懸臂狀態，可近似將第一階振型取為一次比例函數的形式，即φ（X）＝X／L；④各振動模態間不存在氣動耦合；⑤風速互譜的作用可以忽略不計，這樣處理給抖振力譜帶來的誤差僅在5％～7％之間［1］。
二、抖振位移響應的簡化計算方法
1．基本理論
依據隨機振動理論，抖振位移響應的根方差與功率譜密度函數之間存在著下面的關系：
以結構水平側向抖振為例，其抖振位移響應的根方差為：
2．公式推導
由聯合接受函數的表達可以看出其大小主要取決于振型函數的形式。由前面的基本假定，在下面的分析中，均假設跨度為2L（橋塔到兩個懸臂端的長度均假定為L）的橋梁結構的第一階側向彎曲振型函數(即一階側擺）為φ1（x）＝x／L。則第一階振型的廣義質量為mp=2/3m(x)L，其中，m（x）為主梁跨向單位長度質量，在本文中均假定質量沿跨長均勻分布，即有m（x）＝ m0。
其中， c＝λnL／U，λ為反映風譜空間相關性的系數，一般偏保守地取為7。
將各項適當合并后，得到側向抖振響應根方差的表達：
其中，
下面采用曲線擬會的方法對它進行近似求解。
上式中，右端第一項即為背景響應分量，第二項為共振響應分量。由此可以得到背景響應與共振響應之間的比值為
將風速譜、聯合接受函數以及氣動導納函數（取為Sears函數）代人E（n）的表達式中，有
其中，f＝nz／U為莫寧坐標； c＝λnL／U=λ（L／z）f，K＝Bω／U＝2π(B／z）f。
若令f1=n1z/U，則有
其中，T0，T1是對G（f）進行指數曲線擬會求解積分值后的參數（見圖1，此處，L／Z＝10，B／Z＝0.5）。一般有
雖然實際曲線在低頻段與擬會曲線差異較大，但由于在擬合時以曲線和兩個坐標軸間包圍的面積作為控制參數，因此，積分值的精度得到很好保證。經研究，兩者的誤差在1％以內。參數、可按下面的原則取值，即T0≈max［G（f）」，這樣將使擬會的誤差盡可能地減小。
參數T0，T1一般可由附表 1～2，對具體橋梁結構的參數L／Z，B／Z，通過線性內插得到。
經整理，最后可得側向抖振響應根方差的最大值（振型函數值為1處，即懸臂端）為
3．豎向及扭轉抖振位移響應的計算
這兩種振動形式的處理與上面所述的側向運動有所不同，主要體現在抖振力譜的表達形式上。豎向和扭轉抖振力譜分別為
式（12）、（13）均是兩項和的形式，因此可以對各項單獨考慮，而后再組合在一起。此處略去具體的處理過程，僅給出具體結果。豎向抖振響應根方差的最大值為
TO1，T11，T02，T12為擬合參數，其中，T01，T11的選取與上節T0，T1的選取完全相同，
具體可參見附表1、附表2；參數T01，T12的選取則參見附表3、附表4。
同理可得扭轉抖振響應根方差最大值的簡化表達為：
4．結構背景響應分析
在上面的一系列抖振響應表達式中，均涉及到參數α。它定義為結構背景響應部分與共振響應部分的比值（該處所謂的響應是廣義的，并不是具體的抖振響應數值）。一般來說，背景響應在一定的條件下，有可能超過共振響應從而占據主導地位；因此，背景響應部分一般不容忽略。
若僅考慮共振響應，則各振型的抖振響應根方差可表達為
根據參數α的定義，可以計算出背景響應在結構總體響應中所占的比例。令背景響應比例因子為β，則有
分別代入三個方向的抖振響應根方差，就可以得到產基于不同振型的表達：
關于背景響應比例因子的討論，可參見下節的算例分析。
三、算例分析
1．基本資料
（l）南京長江二橋
該橋位于長江在南京河段的八卦洲漢道處。其中南漢主航道橋設計方案為帶輔助墩的雙塔斜索面銅箱梁斜拉橋，主跨628m。橋塔為混凝土結構，由雙柱組成倒Y形，主梁為帶風嘴的閉口鋼箱梁。
（2）福州閩江大橋
該橋位于福州市馬尾區青州路及長樂縣籌東村之間，是福州長樂國際機場連接福州市區的專用通道上跨越閩江的交通工程。新方案為主跨 605m的 A型雙塔斜索面、 Ⅰ字型邊主梁結合梁斜拉橋。
（3）荊沙長江大橋（北漢）
該橋位于湖北省荊沙市，北起荊沙市太岳路與南湖路交叉口，與南岸公安縣陳沙公路相接。其中北漢通航孔橋為主跨500m的H型雙塔雙索面預應力混凝土斜拉橋，主梁采用分離式邊主梁斷面。
三座大橋用于抖振響應計算的基本數據一并列于表1中。
2．計算結果及分析
表2給出了用本文所述方法對三座大橋施工最大雙懸臂狀態的懸臂端抖振位移響應根方差和背景響應比例因子的計算結果，并與數值計算的結果進行了比較。
計算結果分析：
①誤差分析。在不考慮背景響應時，采用本文簡化方法的計算結果與文獻中給出的結果較為接近，誤差基本上在20％以內，在大跨橋梁抗風設計的初步階段，可用來對結構的抖振響應做出快速估計。
②背景響應的影響。結構的背景響應在一定條件下會很顯著，甚至超越共振響應從而占據主導地位。從表中還可以看出，豎向抖振響應的背景分量一般均較小，這主要是由于結構一階豎彎頻率都較低的原因。一般地，結構的跨度、寬度、阻尼比、頻率以及風速、地表粗糙程度等都會對背景響應產生一定的影響。
四、結論
① 斜拉橋施工最大雙懸臂狀態抖振響應計算的基本公式匯總如下：
②結構的背景響應在整個抖振響應中所占的比例一般不容忽略。通過分析，給出了基于不同振型的背景響應比例因子的具體表達：
最后，通過算例較好地驗證了本文簡化方法的適用性。
參考文獻
【1】陳偉，大跨橋梁抖振反應譜研究。同濟大學博士學位論文，1993．3
【2】橋梁抖振反應港及等效風荷載研究，同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，1999．9
【3】南京長江二橋斜拉橋抗風性能試驗研究（二），同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，1999．5
【4】南京長江二橋斜拉橋抗風性能試驗研究（四），同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，1999．11
【5】荊沙長江公路大橋主橋抗風研究（一），同濟大學土木工程防災國家實驗室，1998．l
【6】福州市青州路閩江大橋結合梁斜拉橋抗鳳性能試驗研究（一），同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，1998．3
