【摘要】本文討論了CQC反應譜組合方法推導過程中的關于峰值因子比值假定的近似程度問題。以斜拉橋為例，計算了結構總反應的峰值因子、振型反應的峰值因子以及它們之間的比值。結果發現，結構總反應的峰值
因子與振型反應的峰值因子的比值因計算的響應而不同，在0.8～1.6范圍內變化。在結構的地震響應的計算中，考慮與不考慮峰值因子的作用對結算結果可以產生15％以上的差別。
關鍵詞 峰值因子 組合方法 地震響應
一、反應譜組合方法
反應譜方法是目前結構地震分析，尤其是抗震設計的一種重要方法。反應譜組合方案是反應譜方法中的關鍵問題之一。Kiureghian和Wilson等人[1~4]將地震地面運動視為一個寬帶平穩Gauss過程，基干線性結構的隨機振動理論導出了比例阻尼結構體系振型組合的CQC（Complete Quadratic Combination)反應譜組合方法。該方法較好地考慮了結構自由振動頻率成叢出現時各振型反應間的高相關性，有較好的理論基礎，已經被各國結構抗震設計規范所廣泛采用。CQC方法的導出過程如下。
假定地震動過程為一平穩隨機過程，則在其激勵下線性結構體系任意響應量Zk(t)的最大值的平均值可以寫為
式中，Pk為結構總響應的峰值因子，Pi為第i振型反應的峰值因子，pi為第j振型反應的峰值因子。Zk,max為響應量、zk(t)的最大值的平均值，zi,max和zj,max分別為第（振型和第j振型反應的最大值的平均值，可以使用范圍反應譜坐標得到，即認為規范反應譜為均值反應譜。ρij為振型相關系數，gki,gkj，di和dj是與結構參數有關的量。
若假定
則上式可以寫為
式（3）即為目標廣泛使用的 CQC反應譜組合方法。 CQC組合方法推導過程中引入了式（2）的假定。這條假定是為了在式（1）中將峰值因子的相關項去掉，否則反應譜計算就涉及到地震動的功率譜密度函數和結構的隨機響應一次統計量的計算，難以被工程師接受。這樣一條假定的合理性源自 Kiureghian[1]的一項簡單的研究結果，但未見更詳細的論證。本文將對這一假定進行細致的討論。
二、峰值因子的計算方法
最大值的平均值產與均方根差σ之間通過峰值因子p相聯系，即
μ=pσ （4）
本文的分析中，峰值因子按下式計算：
式中
λ0，λ1,λ2分別為響應的零階、一階和二階譜矩。
三、結構的計算模型和動力特性
1．結構計算模型
本文分析的結構是一座雙塔三跨的斜拉橋，其構造和基本尺寸見圖1。橋全長1238m，跨徑布置為 8.5＋ 246.5＋ 628＋ 246.5＋ 58.5（m）。主梁為鋼箱梁結構，橋面寬 33.6m，梁高3.5m；橋塔為混凝土結構，倒鉆石形，塔高195.41m；每一個索面由20對索組成，橋面索距外跨為12m，其余為15m。全橋用三維梁單元進行有限元離散，計算圖式見圖2。
用x表示橋軸方向，y為豎向，Z為根橋向，則橋梁計算模型中主要約束與連接條件列表于表1中。其中"0"表示自由，"l"表示構件問的該自由度上互相約束。
2．結構動力特性
所分析的橋梁結構的自由振動特性列于表2。可見，此橋的振動特性十分復雜，分別以塔、主梁、輔助墩和過渡墩為主的自由振動頻率之間相差很大。如一階縱飄頻率僅為0.47rad／s，而輔助墩的首階縱向彎曲振型頻率則為18.87rad／s。
四、計算結果
由于結構體系振動特性復雜，不同結構部分由頻率相差很大的振型反應控制，為保證精度，取長300階振型進行疊加計算結構的響應方差。計算中采用的地震動功率譜密度函數見圖2。計算結果示于表3和圖3、圖4中。
由表3可知，結構響應的峰值因子因響應量不同而有較大差別，從2.07變化到3.10。對于所有響應量指定相同的峰值因子是不合理的。由圖3可知，振型響應的峰值因子隨振型頻率顯著變化，由于給定激勵下特定響應量zk（t）的峰值因子是定值，因此峰值因子之比pk／Pi≈l的結論是不存在的，詳見圖4。
表單是對各反應量貢獻最大的振型的頻率，將表2與圖4仔細加以對照就可以發現：除橫橋向主墩彎矩外，其他反應的pk/pi曲線在對反應量貢獻最大振型頻率ωmax處總是非常接近1，而這些振型對總反應一般又是起控制作用（貢獻最大振型的貢獻占總響應的84％以上），這就是為什么對這些反應用1近似代替各振型的峰值因子之比時，仍能保持較高的精度，見表5。而對于根橋向主墩彎矩反應，對反應量貢獻最大振型的貢獻占總反應的72％，不起絕對控制作用，pk/pi曲線在ωmax處又偏離1較多，所以用1近似代替峰值因子之比時，組合結果出現了較大的 （16％左右）誤差。圖5更清楚地說明了忽略峰值因子比值帶來的誤差。
五、結論
本文以斜拉橋為例，研究了CQC反應譜組合方法導出過程中關于峰值因子比值假定所帶來的誤差。得到的結論是：響應量的峰值因子與各振型響應的峰值因子的比值近似等于1的結論是不存在的。對于某一振型超控制作用的響應量，該振型的峰值因子的比值近似等于1，而其他振型的峰值因子的比值可能偏離1很遠。但由于其他振型對該響應量的貢獻很小，將峰值因子的比值統一取為1對響應量的計算結果影響很小，這才是CQC方法可以使用響應量的峰值因子與各振型響應的峰值因子的比值近似等于1假定，并能保持精度的真正原因。但當響應量受多個振型響應控制時，總響應的峰值因子與這幾個控制振型響應的峰值因子的比值不可能同時近似等于1，若仍然將它們統一取為1，則必然導致較大的誤差。這個誤差是以幾方法導出時困基本假定產生的系統誤差，不會隨計算振型數的增加而消失。
參考文獻
[l] A. Der Kiureghian, Structural response to stationary excitation, J. of Engineering Mechanics Division, ASCE, 106,1980, 1195 ~ 1213
[2] E. L. Wilson, A. Der Kiureghian, and Bayo, A replacement for the SRSS method in seismic analysis, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 9, 1981, 187 ~ 192
[3] A response spectrum method for random vibration analysis of MDF systems, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 9, 1981, 419 ~435
[4] A. Der Kiurghian, and A. Neuenhofer, Response spectrum method for multi-support seismic excitation, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 21, 1992, 461 ~ 470
因子與振型反應的峰值因子的比值因計算的響應而不同，在0.8～1.6范圍內變化。在結構的地震響應的計算中，考慮與不考慮峰值因子的作用對結算結果可以產生15％以上的差別。
關鍵詞 峰值因子 組合方法 地震響應
一、反應譜組合方法
反應譜方法是目前結構地震分析，尤其是抗震設計的一種重要方法。反應譜組合方案是反應譜方法中的關鍵問題之一。Kiureghian和Wilson等人[1~4]將地震地面運動視為一個寬帶平穩Gauss過程，基干線性結構的隨機振動理論導出了比例阻尼結構體系振型組合的CQC（Complete Quadratic Combination)反應譜組合方法。該方法較好地考慮了結構自由振動頻率成叢出現時各振型反應間的高相關性，有較好的理論基礎，已經被各國結構抗震設計規范所廣泛采用。CQC方法的導出過程如下。
假定地震動過程為一平穩隨機過程，則在其激勵下線性結構體系任意響應量Zk(t)的最大值的平均值可以寫為
式中，Pk為結構總響應的峰值因子，Pi為第i振型反應的峰值因子，pi為第j振型反應的峰值因子。Zk,max為響應量、zk(t)的最大值的平均值，zi,max和zj,max分別為第（振型和第j振型反應的最大值的平均值，可以使用范圍反應譜坐標得到，即認為規范反應譜為均值反應譜。ρij為振型相關系數，gki,gkj，di和dj是與結構參數有關的量。
若假定
則上式可以寫為
式（3）即為目標廣泛使用的 CQC反應譜組合方法。 CQC組合方法推導過程中引入了式（2）的假定。這條假定是為了在式（1）中將峰值因子的相關項去掉，否則反應譜計算就涉及到地震動的功率譜密度函數和結構的隨機響應一次統計量的計算，難以被工程師接受。這樣一條假定的合理性源自 Kiureghian[1]的一項簡單的研究結果，但未見更詳細的論證。本文將對這一假定進行細致的討論。
二、峰值因子的計算方法
最大值的平均值產與均方根差σ之間通過峰值因子p相聯系，即
μ=pσ （4）
本文的分析中，峰值因子按下式計算：
式中
λ0，λ1,λ2分別為響應的零階、一階和二階譜矩。
三、結構的計算模型和動力特性
1．結構計算模型
本文分析的結構是一座雙塔三跨的斜拉橋，其構造和基本尺寸見圖1。橋全長1238m，跨徑布置為 8.5＋ 246.5＋ 628＋ 246.5＋ 58.5（m）。主梁為鋼箱梁結構，橋面寬 33.6m，梁高3.5m；橋塔為混凝土結構，倒鉆石形，塔高195.41m；每一個索面由20對索組成，橋面索距外跨為12m，其余為15m。全橋用三維梁單元進行有限元離散，計算圖式見圖2。
用x表示橋軸方向，y為豎向，Z為根橋向，則橋梁計算模型中主要約束與連接條件列表于表1中。其中"0"表示自由，"l"表示構件問的該自由度上互相約束。
2．結構動力特性
所分析的橋梁結構的自由振動特性列于表2。可見，此橋的振動特性十分復雜，分別以塔、主梁、輔助墩和過渡墩為主的自由振動頻率之間相差很大。如一階縱飄頻率僅為0.47rad／s，而輔助墩的首階縱向彎曲振型頻率則為18.87rad／s。
四、計算結果
由于結構體系振動特性復雜，不同結構部分由頻率相差很大的振型反應控制，為保證精度，取長300階振型進行疊加計算結構的響應方差。計算中采用的地震動功率譜密度函數見圖2。計算結果示于表3和圖3、圖4中。
由表3可知，結構響應的峰值因子因響應量不同而有較大差別，從2.07變化到3.10。對于所有響應量指定相同的峰值因子是不合理的。由圖3可知，振型響應的峰值因子隨振型頻率顯著變化，由于給定激勵下特定響應量zk（t）的峰值因子是定值，因此峰值因子之比pk／Pi≈l的結論是不存在的，詳見圖4。
表單是對各反應量貢獻最大的振型的頻率，將表2與圖4仔細加以對照就可以發現：除橫橋向主墩彎矩外，其他反應的pk/pi曲線在對反應量貢獻最大振型頻率ωmax處總是非常接近1，而這些振型對總反應一般又是起控制作用（貢獻最大振型的貢獻占總響應的84％以上），這就是為什么對這些反應用1近似代替各振型的峰值因子之比時，仍能保持較高的精度，見表5。而對于根橋向主墩彎矩反應，對反應量貢獻最大振型的貢獻占總反應的72％，不起絕對控制作用，pk/pi曲線在ωmax處又偏離1較多，所以用1近似代替峰值因子之比時，組合結果出現了較大的 （16％左右）誤差。圖5更清楚地說明了忽略峰值因子比值帶來的誤差。
五、結論
本文以斜拉橋為例，研究了CQC反應譜組合方法導出過程中關于峰值因子比值假定所帶來的誤差。得到的結論是：響應量的峰值因子與各振型響應的峰值因子的比值近似等于1的結論是不存在的。對于某一振型超控制作用的響應量，該振型的峰值因子的比值近似等于1，而其他振型的峰值因子的比值可能偏離1很遠。但由于其他振型對該響應量的貢獻很小，將峰值因子的比值統一取為1對響應量的計算結果影響很小，這才是CQC方法可以使用響應量的峰值因子與各振型響應的峰值因子的比值近似等于1假定，并能保持精度的真正原因。但當響應量受多個振型響應控制時，總響應的峰值因子與這幾個控制振型響應的峰值因子的比值不可能同時近似等于1，若仍然將它們統一取為1，則必然導致較大的誤差。這個誤差是以幾方法導出時困基本假定產生的系統誤差，不會隨計算振型數的增加而消失。
參考文獻
[l] A. Der Kiureghian, Structural response to stationary excitation, J. of Engineering Mechanics Division, ASCE, 106,1980, 1195 ~ 1213
[2] E. L. Wilson, A. Der Kiureghian, and Bayo, A replacement for the SRSS method in seismic analysis, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 9, 1981, 187 ~ 192
[3] A response spectrum method for random vibration analysis of MDF systems, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 9, 1981, 419 ~435
[4] A. Der Kiurghian, and A. Neuenhofer, Response spectrum method for multi-support seismic excitation, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 21, 1992, 461 ~ 470
