【摘要】本文討論了CQC反應(yīng)譜組合方法推導(dǎo)過(guò)程中的關(guān)于峰值因子比值假定的近似程度問(wèn)題。以斜拉橋?yàn)槔?jì)算了結(jié)構(gòu)總反應(yīng)的峰值因子、振型反應(yīng)的峰值因子以及它們之間的比值。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)總反應(yīng)的峰值
因子與振型反應(yīng)的峰值因子的比值因計(jì)算的響應(yīng)而不同，在0.8～1.6范圍內(nèi)變化。在結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)的計(jì)算中，考慮與不考慮峰值因子的作用對(duì)結(jié)算結(jié)果可以產(chǎn)生15％以上的差別。
關(guān)鍵詞 峰值因子 組合方法 地震響應(yīng)
一、反應(yīng)譜組合方法
反應(yīng)譜方法是目前結(jié)構(gòu)地震分析，尤其是抗震設(shè)計(jì)的一種重要方法。反應(yīng)譜組合方案是反應(yīng)譜方法中的關(guān)鍵問(wèn)題之一。Kiureghian和Wilson等人[1~4]將地震地面運(yùn)動(dòng)視為一個(gè)寬帶平穩(wěn)Gauss過(guò)程，基干線性結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)理論導(dǎo)出了比例阻尼結(jié)構(gòu)體系振型組合的CQC（Complete Quadratic Combination)反應(yīng)譜組合方法。該方法較好地考慮了結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)頻率成叢出現(xiàn)時(shí)各振型反應(yīng)間的高相關(guān)性，有較好的理論基礎(chǔ)，已經(jīng)被各國(guó)結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范所廣泛采用。CQC方法的導(dǎo)出過(guò)程如下。
假定地震動(dòng)過(guò)程為一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則在其激勵(lì)下線性結(jié)構(gòu)體系任意響應(yīng)量Zk(t)的最大值的平均值可以寫(xiě)為
式中，Pk為結(jié)構(gòu)總響應(yīng)的峰值因子，Pi為第i振型反應(yīng)的峰值因子，pi為第j振型反應(yīng)的峰值因子。Zk,max為響應(yīng)量、zk(t)的最大值的平均值，zi,max和zj,max分別為第（振型和第j振型反應(yīng)的最大值的平均值，可以使用范圍反應(yīng)譜坐標(biāo)得到，即認(rèn)為規(guī)范反應(yīng)譜為均值反應(yīng)譜。ρij為振型相關(guān)系數(shù)，gki,gkj，di和dj是與結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的量。
若假定
則上式可以寫(xiě)為
式（3）即為目標(biāo)廣泛使用的 CQC反應(yīng)譜組合方法。 CQC組合方法推導(dǎo)過(guò)程中引入了式（2）的假定。這條假定是為了在式（1）中將峰值因子的相關(guān)項(xiàng)去掉，否則反應(yīng)譜計(jì)算就涉及到地震動(dòng)的功率譜密度函數(shù)和結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)一次統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，難以被工程師接受。這樣一條假定的合理性源自 Kiureghian[1]的一項(xiàng)簡(jiǎn)單的研究結(jié)果，但未見(jiàn)更詳細(xì)的論證。本文將對(duì)這一假定進(jìn)行細(xì)致的討論。
二、峰值因子的計(jì)算方法
最大值的平均值產(chǎn)與均方根差σ之間通過(guò)峰值因子p相聯(lián)系，即
μ=pσ （4）
本文的分析中，峰值因子按下式計(jì)算：
式中
λ0，λ1,λ2分別為響應(yīng)的零階、一階和二階譜矩。
三、結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型和動(dòng)力特性
1．結(jié)構(gòu)計(jì)算模型
本文分析的結(jié)構(gòu)是一座雙塔三跨的斜拉橋，其構(gòu)造和基本尺寸見(jiàn)圖1。橋全長(zhǎng)1238m，跨徑布置為 8.5＋ 246.5＋ 628＋ 246.5＋ 58.5（m）。主梁為鋼箱梁結(jié)構(gòu)，橋面寬 33.6m，梁高3.5m；橋塔為混凝土結(jié)構(gòu)，倒鉆石形，塔高195.41m；每一個(gè)索面由20對(duì)索組成，橋面索距外跨為12m，其余為15m。全橋用三維梁?jiǎn)卧M(jìn)行有限元離散，計(jì)算圖式見(jiàn)圖2。
用x表示橋軸方向，y為豎向，Z為根橋向，則橋梁計(jì)算模型中主要約束與連接條件列表于表1中。其中"0"表示自由，"l"表示構(gòu)件問(wèn)的該自由度上互相約束。
2．結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性
所分析的橋梁結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性列于表2。可見(jiàn)，此橋的振動(dòng)特性十分復(fù)雜，分別以塔、主梁、輔助墩和過(guò)渡墩為主的自由振動(dòng)頻率之間相差很大。如一階縱飄頻率僅為0.47rad／s，而輔助墩的首階縱向彎曲振型頻率則為18.87rad／s。
四、計(jì)算結(jié)果
由于結(jié)構(gòu)體系振動(dòng)特性復(fù)雜，不同結(jié)構(gòu)部分由頻率相差很大的振型反應(yīng)控制，為保證精度，取長(zhǎng)300階振型進(jìn)行疊加計(jì)算結(jié)構(gòu)的響應(yīng)方差。計(jì)算中采用的地震動(dòng)功率譜密度函數(shù)見(jiàn)圖2。計(jì)算結(jié)果示于表3和圖3、圖4中。
由表3可知，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的峰值因子因響應(yīng)量不同而有較大差別，從2.07變化到3.10。對(duì)于所有響應(yīng)量指定相同的峰值因子是不合理的。由圖3可知，振型響應(yīng)的峰值因子隨振型頻率顯著變化，由于給定激勵(lì)下特定響應(yīng)量zk（t）的峰值因子是定值，因此峰值因子之比pk／Pi≈l的結(jié)論是不存在的，詳見(jiàn)圖4。
表單是對(duì)各反應(yīng)量貢獻(xiàn)最大的振型的頻率，將表2與圖4仔細(xì)加以對(duì)照就可以發(fā)現(xiàn)：除橫橋向主墩彎矩外，其他反應(yīng)的pk/pi曲線在對(duì)反應(yīng)量貢獻(xiàn)最大振型頻率ωmax處總是非常接近1，而這些振型對(duì)總反應(yīng)一般又是起控制作用（貢獻(xiàn)最大振型的貢獻(xiàn)占總響應(yīng)的84％以上），這就是為什么對(duì)這些反應(yīng)用1近似代替各振型的峰值因子之比時(shí)，仍能保持較高的精度，見(jiàn)表5。而對(duì)于根橋向主墩彎矩反應(yīng)，對(duì)反應(yīng)量貢獻(xiàn)最大振型的貢獻(xiàn)占總反應(yīng)的72％，不起絕對(duì)控制作用，pk/pi曲線在ωmax處又偏離1較多，所以用1近似代替峰值因子之比時(shí)，組合結(jié)果出現(xiàn)了較大的 （16％左右）誤差。圖5更清楚地說(shuō)明了忽略峰值因子比值帶來(lái)的誤差。
五、結(jié)論
本文以斜拉橋?yàn)槔芯苛薈QC反應(yīng)譜組合方法導(dǎo)出過(guò)程中關(guān)于峰值因子比值假定所帶來(lái)的誤差。得到的結(jié)論是：響應(yīng)量的峰值因子與各振型響應(yīng)的峰值因子的比值近似等于1的結(jié)論是不存在的。對(duì)于某一振型超控制作用的響應(yīng)量，該振型的峰值因子的比值近似等于1，而其他振型的峰值因子的比值可能偏離1很遠(yuǎn)。但由于其他振型對(duì)該響應(yīng)量的貢獻(xiàn)很小，將峰值因子的比值統(tǒng)一取為1對(duì)響應(yīng)量的計(jì)算結(jié)果影響很小，這才是CQC方法可以使用響應(yīng)量的峰值因子與各振型響應(yīng)的峰值因子的比值近似等于1假定，并能保持精度的真正原因。但當(dāng)響應(yīng)量受多個(gè)振型響應(yīng)控制時(shí)，總響應(yīng)的峰值因子與這幾個(gè)控制振型響應(yīng)的峰值因子的比值不可能同時(shí)近似等于1，若仍然將它們統(tǒng)一取為1，則必然導(dǎo)致較大的誤差。這個(gè)誤差是以幾方法導(dǎo)出時(shí)困基本假定產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差，不會(huì)隨計(jì)算振型數(shù)的增加而消失。
參考文獻(xiàn)
[l] A. Der Kiureghian, Structural response to stationary excitation, J. of Engineering Mechanics Division, ASCE, 106,1980, 1195 ~ 1213
[2] E. L. Wilson, A. Der Kiureghian, and Bayo, A replacement for the SRSS method in seismic analysis, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 9, 1981, 187 ~ 192
[3] A response spectrum method for random vibration analysis of MDF systems, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 9, 1981, 419 ~435
[4] A. Der Kiurghian, and A. Neuenhofer, Response spectrum method for multi-support seismic excitation, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 21, 1992, 461 ~ 470
因子與振型反應(yīng)的峰值因子的比值因計(jì)算的響應(yīng)而不同，在0.8～1.6范圍內(nèi)變化。在結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)的計(jì)算中，考慮與不考慮峰值因子的作用對(duì)結(jié)算結(jié)果可以產(chǎn)生15％以上的差別。
關(guān)鍵詞 峰值因子 組合方法 地震響應(yīng)
一、反應(yīng)譜組合方法
反應(yīng)譜方法是目前結(jié)構(gòu)地震分析，尤其是抗震設(shè)計(jì)的一種重要方法。反應(yīng)譜組合方案是反應(yīng)譜方法中的關(guān)鍵問(wèn)題之一。Kiureghian和Wilson等人[1~4]將地震地面運(yùn)動(dòng)視為一個(gè)寬帶平穩(wěn)Gauss過(guò)程，基干線性結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)理論導(dǎo)出了比例阻尼結(jié)構(gòu)體系振型組合的CQC（Complete Quadratic Combination)反應(yīng)譜組合方法。該方法較好地考慮了結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)頻率成叢出現(xiàn)時(shí)各振型反應(yīng)間的高相關(guān)性，有較好的理論基礎(chǔ)，已經(jīng)被各國(guó)結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范所廣泛采用。CQC方法的導(dǎo)出過(guò)程如下。
假定地震動(dòng)過(guò)程為一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則在其激勵(lì)下線性結(jié)構(gòu)體系任意響應(yīng)量Zk(t)的最大值的平均值可以寫(xiě)為
式中，Pk為結(jié)構(gòu)總響應(yīng)的峰值因子，Pi為第i振型反應(yīng)的峰值因子，pi為第j振型反應(yīng)的峰值因子。Zk,max為響應(yīng)量、zk(t)的最大值的平均值，zi,max和zj,max分別為第（振型和第j振型反應(yīng)的最大值的平均值，可以使用范圍反應(yīng)譜坐標(biāo)得到，即認(rèn)為規(guī)范反應(yīng)譜為均值反應(yīng)譜。ρij為振型相關(guān)系數(shù)，gki,gkj，di和dj是與結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的量。
若假定
則上式可以寫(xiě)為
式（3）即為目標(biāo)廣泛使用的 CQC反應(yīng)譜組合方法。 CQC組合方法推導(dǎo)過(guò)程中引入了式（2）的假定。這條假定是為了在式（1）中將峰值因子的相關(guān)項(xiàng)去掉，否則反應(yīng)譜計(jì)算就涉及到地震動(dòng)的功率譜密度函數(shù)和結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)一次統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，難以被工程師接受。這樣一條假定的合理性源自 Kiureghian[1]的一項(xiàng)簡(jiǎn)單的研究結(jié)果，但未見(jiàn)更詳細(xì)的論證。本文將對(duì)這一假定進(jìn)行細(xì)致的討論。
二、峰值因子的計(jì)算方法
最大值的平均值產(chǎn)與均方根差σ之間通過(guò)峰值因子p相聯(lián)系，即
μ=pσ （4）
本文的分析中，峰值因子按下式計(jì)算：
式中
λ0，λ1,λ2分別為響應(yīng)的零階、一階和二階譜矩。
三、結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型和動(dòng)力特性
1．結(jié)構(gòu)計(jì)算模型
本文分析的結(jié)構(gòu)是一座雙塔三跨的斜拉橋，其構(gòu)造和基本尺寸見(jiàn)圖1。橋全長(zhǎng)1238m，跨徑布置為 8.5＋ 246.5＋ 628＋ 246.5＋ 58.5（m）。主梁為鋼箱梁結(jié)構(gòu)，橋面寬 33.6m，梁高3.5m；橋塔為混凝土結(jié)構(gòu)，倒鉆石形，塔高195.41m；每一個(gè)索面由20對(duì)索組成，橋面索距外跨為12m，其余為15m。全橋用三維梁?jiǎn)卧M(jìn)行有限元離散，計(jì)算圖式見(jiàn)圖2。
用x表示橋軸方向，y為豎向，Z為根橋向，則橋梁計(jì)算模型中主要約束與連接條件列表于表1中。其中"0"表示自由，"l"表示構(gòu)件問(wèn)的該自由度上互相約束。
2．結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性
所分析的橋梁結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性列于表2。可見(jiàn)，此橋的振動(dòng)特性十分復(fù)雜，分別以塔、主梁、輔助墩和過(guò)渡墩為主的自由振動(dòng)頻率之間相差很大。如一階縱飄頻率僅為0.47rad／s，而輔助墩的首階縱向彎曲振型頻率則為18.87rad／s。
四、計(jì)算結(jié)果
由于結(jié)構(gòu)體系振動(dòng)特性復(fù)雜，不同結(jié)構(gòu)部分由頻率相差很大的振型反應(yīng)控制，為保證精度，取長(zhǎng)300階振型進(jìn)行疊加計(jì)算結(jié)構(gòu)的響應(yīng)方差。計(jì)算中采用的地震動(dòng)功率譜密度函數(shù)見(jiàn)圖2。計(jì)算結(jié)果示于表3和圖3、圖4中。
由表3可知，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的峰值因子因響應(yīng)量不同而有較大差別，從2.07變化到3.10。對(duì)于所有響應(yīng)量指定相同的峰值因子是不合理的。由圖3可知，振型響應(yīng)的峰值因子隨振型頻率顯著變化，由于給定激勵(lì)下特定響應(yīng)量zk（t）的峰值因子是定值，因此峰值因子之比pk／Pi≈l的結(jié)論是不存在的，詳見(jiàn)圖4。
表單是對(duì)各反應(yīng)量貢獻(xiàn)最大的振型的頻率，將表2與圖4仔細(xì)加以對(duì)照就可以發(fā)現(xiàn)：除橫橋向主墩彎矩外，其他反應(yīng)的pk/pi曲線在對(duì)反應(yīng)量貢獻(xiàn)最大振型頻率ωmax處總是非常接近1，而這些振型對(duì)總反應(yīng)一般又是起控制作用（貢獻(xiàn)最大振型的貢獻(xiàn)占總響應(yīng)的84％以上），這就是為什么對(duì)這些反應(yīng)用1近似代替各振型的峰值因子之比時(shí)，仍能保持較高的精度，見(jiàn)表5。而對(duì)于根橋向主墩彎矩反應(yīng)，對(duì)反應(yīng)量貢獻(xiàn)最大振型的貢獻(xiàn)占總反應(yīng)的72％，不起絕對(duì)控制作用，pk/pi曲線在ωmax處又偏離1較多，所以用1近似代替峰值因子之比時(shí)，組合結(jié)果出現(xiàn)了較大的 （16％左右）誤差。圖5更清楚地說(shuō)明了忽略峰值因子比值帶來(lái)的誤差。
五、結(jié)論
本文以斜拉橋?yàn)槔芯苛薈QC反應(yīng)譜組合方法導(dǎo)出過(guò)程中關(guān)于峰值因子比值假定所帶來(lái)的誤差。得到的結(jié)論是：響應(yīng)量的峰值因子與各振型響應(yīng)的峰值因子的比值近似等于1的結(jié)論是不存在的。對(duì)于某一振型超控制作用的響應(yīng)量，該振型的峰值因子的比值近似等于1，而其他振型的峰值因子的比值可能偏離1很遠(yuǎn)。但由于其他振型對(duì)該響應(yīng)量的貢獻(xiàn)很小，將峰值因子的比值統(tǒng)一取為1對(duì)響應(yīng)量的計(jì)算結(jié)果影響很小，這才是CQC方法可以使用響應(yīng)量的峰值因子與各振型響應(yīng)的峰值因子的比值近似等于1假定，并能保持精度的真正原因。但當(dāng)響應(yīng)量受多個(gè)振型響應(yīng)控制時(shí)，總響應(yīng)的峰值因子與這幾個(gè)控制振型響應(yīng)的峰值因子的比值不可能同時(shí)近似等于1，若仍然將它們統(tǒng)一取為1，則必然導(dǎo)致較大的誤差。這個(gè)誤差是以幾方法導(dǎo)出時(shí)困基本假定產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差，不會(huì)隨計(jì)算振型數(shù)的增加而消失。
參考文獻(xiàn)
[l] A. Der Kiureghian, Structural response to stationary excitation, J. of Engineering Mechanics Division, ASCE, 106,1980, 1195 ~ 1213
[2] E. L. Wilson, A. Der Kiureghian, and Bayo, A replacement for the SRSS method in seismic analysis, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 9, 1981, 187 ~ 192
[3] A response spectrum method for random vibration analysis of MDF systems, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 9, 1981, 419 ~435
[4] A. Der Kiurghian, and A. Neuenhofer, Response spectrum method for multi-support seismic excitation, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 21, 1992, 461 ~ 470
